Конечная математика Примеры

(9, 8)

$(9, 8)$ ,

(9, 3)

$(9, 3)$

Этап 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Этап 2

Find the dot product.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим

9

$9$ на

9

$9$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим

8

$8$ на

3

$3$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

Этап 2.2.2

Добавим

81

$81$ и

24

$24$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

a⃗ \cdot b⃗ = 105

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

Этап 3

Найдем абсолютную величину

a⃗

$a⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем

9

$9$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем

8

$8$ в степень

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

Этап 3.2.3

Добавим

81

$81$ и

64

$64$ .

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

| a⃗ | = \sqrt{145}

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

Этап 4

Найдем абсолютную величину

b⃗

$b⃗$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем

9

$9$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

Этап 4.2.2

Возведем

3

$3$ в степень

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

Этап 4.2.3

Добавим

81

$81$ и

9

$9$ .

| b⃗ | = \sqrt{90}

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

Этап 4.2.4

Перепишем

90

$90$ в виде

3^{2} \cdot 10

$3^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем множитель

9

$9$ из

90

$90$ .

| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем

9

$9$ в виде

3^{2}

$3^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Этап 4.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

| b⃗ | = 3 \sqrt{10}

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

Этап 5

Подставим значения в формулу.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель

$105$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель

$3$ из

$105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Этап 6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

Этап 6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

Этап 6.2.2

Умножим

$145$ на

$10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

Этап 6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перепишем

$1450$ в виде

$5^{2} \cdot 58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель

$25$ из

$1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

Этап 6.3.1.2

Перепишем

$25$ в виде

$5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

Этап 6.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

Этап 6.4

Сократим общий множитель

$35$ и

$5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель

$5$ из

$35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель

$5$ из

$5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

Этап 6.5

Умножим

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ на

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

Этап 6.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ на

$\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

Этап 6.6.2

Возведем

$\sqrt{58}$ в степень

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

Этап 6.6.3

Возведем

$\sqrt{58}$ в степень

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

Этап 6.6.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

Этап 6.6.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

Этап 6.6.6

Перепишем

${\sqrt{58}}^{2}$ в виде

$58$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{58}$ в виде

$58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 6.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 6.6.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.6.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

Этап 6.6.6.5

Найдем экспоненту.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

Этап 6.7

Найдем значение

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$