Конечная математика Примеры

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 14 = 0$

Этап 1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = x^{2} + 2 x - 14$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.5

Добавим $4$ и $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 5)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Этап 3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Добавим $4$ и $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 5)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Этап 4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Умножим $- 4$ на $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Добавим $4$ и $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6

Перепишем $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 8 x + 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2} - 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 5 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7

Перепишем $4 (- x + 3) (x + 5)$ в виде $2^{2} ((- x + 3) (x + 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$

Этап 7

Данное уравнение $y = 1 + \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}, 1 - \sqrt{(- x + 3) (x + 5)}$ нельзя записать как $y = k x$ , поэтому $y$ не зависит напрямую от $x$ .

$y$ не изменяется прямо пропорционально $x$