Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $[\begin{array}{c} - 4 & - 2 \\ 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна $2 \times 2$ , а вторая — $2 \times 1$ .

Этап 1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y \\ 3 x - 5 y \end{array}] + [\begin{array}{c} 13 \\ - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Этап 2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 4 x - 2 y + 13 \\ 3 x - 5 y - 14 \end{array}] = [\begin{array}{c} 23 \\ - 28 \end{array}]$

Этап 3

Запишем в виде линейной системы уравнений.

$- 4 x - 2 y + 13 = 23$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $x$ в $- 4 x - 2 y + 13 = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x + 13 = 23 + 2 y$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.1.2

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x = 23 + 2 y - 13$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.1.3

Вычтем $13$ из $23$ .

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$- 4 x = 2 y + 10$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2

Разделим каждый член $- 4 x = 2 y + 10$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = 2 y + 10$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{2 y}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$x = \frac{2 (y)}{- 4} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 y}{2 \cdot - 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{10}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.3

Сократим общий множитель $10$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 (5)}{- 4}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} + \frac{5}{- 2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.1.2.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$3 x - 5 y - 14 = - 28$

Этап 4.2

Заменим все вхождения $x$ на $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x - 5 y - 14 = - 28$ на $- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{y}{2} - \frac{5}{2}) - 5 y - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (- \frac{y}{2}) + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Умножим $3 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{y}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + 3 (- \frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.3

Умножим $3 (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 y}{2} - 3 (\frac{5}{2}) - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 3 \cdot 5}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{3 y}{2} - \frac{15}{2} - 5 y - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Чтобы записать $- 5 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.3

Объединим $- 5 y$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 y - 5 y \cdot 2}{2} - \frac{15}{2} - 14 = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 14 + \frac{- 3 y - 5 y \cdot 2 - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $2$ на $- 5$ .

$- 14 + \frac{- 3 y - 10 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.7

Вычтем $10 y$ из $- 3 y$ .

$- 14 + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.8

Чтобы записать $- 14$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 14 \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.9.1

Объединим $- 14$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 14 \cdot 2}{2} + \frac{- 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.9.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 14 \cdot 2 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.10.1

Умножим $- 14$ на $2$ .

$\frac{- 28 - 13 y - 15}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.10.2

Вычтем $15$ из $- 28$ .

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$\frac{- 13 y - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 13 y$ .

$\frac{- (13 y) - 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.11.2

Перепишем $- 43$ в виде $- 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y) - 1 \cdot 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (13 y) - 1 (43)$ .

$\frac{- (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.11.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.11.4.1

Перепишем $- (13 y + 43)$ в виде $- 1 (13 y + 43)$ .

$\frac{- 1 (13 y + 43)}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.2.2.1.11.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $y$ в $- \frac{13 y + 43}{2} = - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{13 y + 43}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{13 y + 43}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{13 y + 43}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- (13 y + 43)}{2} = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot (- 1 \frac{- (13 y + 43)}{2}) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (13 y + 43) = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Умножим $13 y + 43$ на $1$ .

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = - 2 \cdot - 28$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $- 2$ на $- 28$ .

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y + 43 = 56$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вычтем $43$ из обеих частей уравнения.

$13 y = 56 - 43$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.3.2

Вычтем $43$ из $56$ .

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$13 y = 13$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.4

Разделим каждый член $13 y = 13$ на $13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Разделим каждый член $13 y = 13$ на $13$ .

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 y}{13} = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = \frac{13}{13}$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Разделим $13$ на $13$ .

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

$x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$

Этап 4.4

Заменим все вхождения $y$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \frac{y}{2} - \frac{5}{2}$ на $1$ .

$x = - \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$

$y = 1$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 1 - 5}{2}$

$y = 1$

Этап 4.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

$y = 1$

Этап 4.4.2.1.2.2

Разделим $- 6$ на $2$ .

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

$x = - 3$

$y = 1$

Этап 4.5

Перечислим все решения.

$x = - 3, y = 1$