Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Find the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 1.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 12 - 7 \cdot 5$

Этап 1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $3$ на $12$ .

$36 - 7 \cdot 5$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $- 7$ на $5$ .

$36 - 35$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $35$ из $36$ .

$1$

Этап 1.3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 1.4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Этап 1.5

Разделим $1$ на $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Этап 1.6

Умножим $1$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 1.7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $12$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & 1 \cdot - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 1.7.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ 1 \cdot - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 1.7.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 1 \cdot 3 \end{array}]$

Этап 1.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}]$

Этап 2

Multiply both sides by the inverse of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 7 & 12 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Этап 3.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 12 \cdot 3 - 5 \cdot 7 & 12 \cdot 5 - 5 \cdot 12 \\ - 7 \cdot 3 + 3 \cdot 7 & - 7 \cdot 5 + 3 \cdot 12 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 3.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 3.2

Multiplying the identity matrix by any matrix $A$ is the matrix $A$ itself.

$x = [\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим $[\begin{array}{c} 12 & - 5 \\ - 7 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Этап 3.3.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$x = [\begin{array}{c} 12 \cdot 2 - 5 \cdot 3 & 12 \cdot - 1 - 5 \cdot 2 \\ - 7 \cdot 2 + 3 \cdot 3 & - 7 \cdot - 1 + 3 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$x = [\begin{array}{c} 9 & - 22 \\ - 5 & 13 \end{array}]$