Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x & 0 \\ x + y & z + 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x & 0 \\ x + y & z + 2 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $2 \times 2$ and the second matrix is $2 \times 2$ .

Этап 1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 3 x + 5 (x + y) & 3 \cdot 0 + 5 (z + 2) \\ 1 x + 2 (x + y) & 1 \cdot 0 + 2 (z + 2) \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 8 x + 5 y & 5 z + 10 \\ 3 x + 2 y & 2 z + 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 5 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 2

Write as a linear system of equations.

$8 x + 5 y = 1$

$5 z + 10 = - 5$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $z$ в $5 z + 10 = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$5 z = - 5 - 10$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.1.1.2

Вычтем $10$ из $- 5$ .

$5 z = - 15$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$5 z = - 15$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $5 z = - 15$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $5 z = - 15$ на $5$ .

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 z}{5} = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = \frac{- 15}{5}$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 15$ на $5$ .

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$2 z + 4 = - 2$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $z$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $z$ в $2 z + 4 = - 2$ на $- 3$ .

$2 (- 3) + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- 3) + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 + 4 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Добавим $- 6$ и $4$ .

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

$- 2 = - 2$

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.3

Удалим из системы все уравнения, которые всегда верны.

$z = - 3$

$8 x + 5 y = 1$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ в $8 x + 5 y = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$8 x = 1 - 5 y$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $8 x = 1 - 5 y$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $8 x = 1 - 5 y$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} + \frac{- 5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$3 x + 2 y = 0$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x + 2 y = 0$ на $\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ .

$3 (\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}) + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{1}{8}) + 3 (- \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.1.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{3}{8} + 3 (- \frac{5 y}{8}) + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.1.3

Умножим $3 (- \frac{5 y}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3}{8} - 3 \frac{5 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{5 y}{8}$ .

$\frac{3}{8} + \frac{- 3 (5 y)}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.1.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.2

Чтобы записать $2 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + 2 y \cdot \frac{8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.3

Объединим $2 y$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3}{8} - \frac{15 y}{8} + \frac{2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{8} + \frac{- 15 y + 2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 15 y + 2 y \cdot 8}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.6

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{3 - 15 y + 16 y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.5.2.1.7

Добавим $- 15 y$ и $16 y$ .

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$\frac{3 + y}{8} = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.6

Решим относительно $y$ в $\frac{3 + y}{8} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем числитель к нулю.

$3 + y = 0$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = - 3$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

$y = - 3$

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$

$z = - 3$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $y$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{1}{8} - \frac{5 y}{8}$ на $- 3$ .

$x = \frac{1}{8} - \frac{5 (- 3)}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $\frac{1}{8} - \frac{5 (- 3)}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{1 - 5 \cdot - 3}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Этап 3.7.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.2.1

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$x = \frac{1 + 15}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Этап 3.7.2.1.2.2

Добавим $1$ и $15$ .

$x = \frac{16}{8}$

$y = - 3$

$z = - 3$

Этап 3.7.2.1.2.3

Разделим $16$ на $8$ .

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

$x = 2$

$y = - 3$

$z = - 3$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$x = 2, y = - 3, z = - 3$