Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 1

Рациональная функция — это любая функция, которая может быть записана как отношение двух полиномиальных функций, при этом знаменатель не равен $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ — рациональная функция

Этап 2

Рациональная функция является собственной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае это несобственная функция.

Если степень числителя меньше степени знаменателя, получается правильная рациональная дробь

Если степень числителя больше степени знаменателя, получается неправильная рациональная дробь

Если степень числителя равна степени знаменателя, получается неправильная рациональная дробь

Этап 3

Найдем степень числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.3

Применим правило умножения к $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.4

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Перенесем $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.6

Умножим $- 1$ на $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.9

Умножим $9$ на $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.1.2.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

Этап 3.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$3$

Этап 4

Найдем степень знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим и упорядочим многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x^{2} + 1)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

Этап 4.1.2

Развернем $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

Этап 4.1.3.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

Этап 4.2

Наибольший показатель степени называется степенью многочлена.

$4$

Этап 5

Степень числителя $3$ меньше степени знаменателя $4$ .

$3 < 4$

Этап 6

Степень числителя ниже степени знаменателя, следовательно, $f (x)$ — собственная функция.

Правильные