Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{2} + x$ , $[- 1, 2]$

Этап 1

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Вычислим $f (a) = f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Избавимся от скобок.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Этап 3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Этап 3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 4

Вычислим $f (b) = f (2) = {(2)}^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = {(2)}^{2} + 2$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 4 + 2$

Этап 4.3

Добавим $4$ и $2$ .

$f (2) = 6$

Этап 5

Так как $0$ находится в интервале $[0, 6]$ , решим уравнение в отношении $x$ , приравняв $y$ к $0$ в $y = x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x = 0$ .

$x^{2} + x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 5.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 6

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[0, 6]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[- 1, 2]$ .

Корни на интервале $[- 1, 2]$ расположены в $x = 0, x = - 1$ .

Этап 7