Конечная математика Примеры

$y = 64 - x^{2}$ , $[- 8, 8]$

Этап 1

Изменим порядок $64$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 64$

Этап 2

Теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ является непрерывной функцией с действительными значениями на интервале $[a, b]$ , а число $u$ лежит между $f (a)$ и $f (b)$ , то существует такое число $c$ на интервале $[a, b]$ , что $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Вычислим $f (a) = f (- 8) = - {(- 8)}^{2} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (- 8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f (- 8) = - 64 + 64$

Этап 4.2

Добавим $- 64$ и $64$ .

$f (- 8) = 0$

Этап 5

Вычислим $f (b) = f (8) = - {(8)}^{2} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (8) = - 1 \cdot 64 + 64$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $64$ .

$f (8) = - 64 + 64$

Этап 5.2

Добавим $- 64$ и $64$ .

$f (8) = 0$

Этап 6

Так как $0$ находится в интервале $[0, 0]$ , решим уравнение в отношении $x$ , приравняв $y$ к $0$ в $y = - x^{2} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} + 64 = 0$ .

$- x^{2} + 64 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 64$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- x^{2} = - 64$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 64$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Этап 6.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $- 64$ на $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Этап 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Этап 6.5

Упростим $\pm \sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Этап 6.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 8$

Этап 6.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 8$

Этап 6.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 8$

Этап 6.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 8, - 8$

Этап 7

Теорема о промежуточном значении утверждает, что на интервале $[0, 0]$ существует корень $f (c) = 0$ , поскольку $f$ является непрерывной функцией на $[- 8, 8]$ .

Корни на интервале $[- 8, 8]$ расположены в $x = 8, x = - 8$ .

Этап 8