Конечная математика Примеры

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , где $a = x$ и $i = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

Этап 5

Разложим $- x^{3} + 2 x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 5.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 5.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

Этап 5.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 + 1$

Этап 5.3.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 5.3.6

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 5.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

Этап 5.5

Разделим $- x^{3} + 2 x + 1$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Этап 5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

Этап 5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Этап 5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

Этап 5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Этап 5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Этап 5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Этап 5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + x + 1$

Этап 5.6

Запишем $- x^{3} + 2 x + 1$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Этап 6

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

Этап 7

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Этап 8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Этап 8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Этап 8.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

Этап 9

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Этап 10

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

Этап 11

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$