Конечная математика Примеры

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \cdot \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Этап 1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (16) - \log_{b} (8)$

Этап 1.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\log_{b} (16)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (16)}{2} - \log_{b} (8)$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- \log_{b} (8)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} - \log_{b} (8) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $- \log_{b} (8)$ и $\frac{3}{3}$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{- \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Этап 1.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Этап 1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $\log_{b} (8)$ из $2 \log_{b} (8) - \log_{b} (8) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $\log_{b} (8)$ из $2 \log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 - \log_{b} (8) \cdot 3}{3}$

Этап 1.1.4.1.1.2

Вынесем множитель $\log_{b} (8)$ из $- \log_{b} (8) \cdot 3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)}{3}$

Этап 1.1.4.1.1.3

Вынесем множитель $\log_{b} (8)$ из $\log_{b} (8) \cdot 2 + \log_{b} (8) (- 1 \cdot 3)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 1 \cdot 3)}{3}$

Этап 1.1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) (2 - 3)}{3}$

Этап 1.1.4.1.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{\log_{b} (8) \cdot - 1}{3}$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} + \frac{- 1 \cdot \log_{b} (8)}{3}$

Этап 1.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$

Этап 2

Каждый член в $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ умножим на $6$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} - \frac{\log_{b} (8)}{3}$ на $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $6$ влево от $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.2

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = \frac{\log_{b} (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3.1.1.3

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = \log_{b} (16) \cdot 3 - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\log_{b} (16)$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \cdot \log_{b} (16) - \frac{\log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\log_{b} (8)}{3}$ в числитель.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot 6$

Этап 2.3.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2))$

Этап 2.3.1.3.3

Сократим общий множитель.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) + \frac{- \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Этап 2.3.1.3.4

Перепишем это выражение.

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - \log_{b} (8) \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $6 \log_{b} (x)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = 3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $3 \log_{b} (16) - 2 \log_{b} (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим $3 \log_{b} (16)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (16^{3}) - 2 \log_{b} (8)$

Этап 4.1.1.2

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - 2 \log_{b} (8)$

Этап 4.1.1.3

Упростим $- 2 \log_{b} (8)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (8^{2})$

Этап 4.1.1.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) - \log_{b} (64)$

Этап 4.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096}{64})$

Этап 4.1.3

Разделим $4096$ на $64$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Этап 5

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{6} = 64$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 6.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 6.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$