Конечная математика Примеры

${(2 x - 5 y)}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(2 x - 5 y)}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $2 x$ и $b$ $- 5 y$ в выражение.

$1 {(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(2 x)}^{3}$ на $1$ .

${(2 x)}^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{3} x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 x^{3} {(- 5 y)}^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- 5 y$ .

$8 x^{3} ({(- 5)}^{0} y^{0}) + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 \cdot {(- 5)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x^{3} y^{0} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} \cdot 1 + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.9

Умножим $8$ на $1$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.12

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} {(- 5 y)}^{1} + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.13

Упростим.

$8 x^{3} + 12 x^{2} (- 5 y) + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} + 12 \cdot - 5 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $12$ на $- 5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 {(2 x)}^{1} {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.16

Упростим.

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 3 (2 x) {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.17

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x {(- 5 y)}^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 x ({(- 5)}^{2} y^{2}) + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot {(- 5)}^{2} x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.20

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 6 \cdot 25 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.21

Умножим $6$ на $25$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.22

Умножим ${(2 x)}^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(2 x)}^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 2^{0} x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.25

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + x^{0} {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.26

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + 1 {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.27

Умножим ${(- 5 y)}^{3}$ на $1$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5 y)}^{3}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $- 5 y$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} + {(- 5)}^{3} y^{3}$

Этап 4.29

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$