Конечная математика Примеры

$| x^{2} + 2 x - 15 | = | x - 3 |$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$ .

$| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$

Этап 2

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

$- (x - 3) = x^{2} + 2 x - 15$

$- (x - 3) = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Этап 3

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Этап 4

Решим $x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x - 15 = x - 3$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x - 15 - x = - 3$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x^{2} + x - 15 = - 3$

Этап 4.3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + x - 15 + 3 = 0$

Этап 4.4

Добавим $- 15$ и $3$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} + x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.8

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 3, - 4$

Этап 5

Решим $x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Этап 5.2

Упростим $- (x^{2} + 2 x - 15)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем.

$0 + 0 - (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - (2 x) - - 15 = x - 3$

Этап 5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - - 15 = x - 3$

Этап 5.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 15$ .

$- x^{2} - 2 x + 15 = x - 3$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 2 x + 15 - x = - 3$

Этап 5.3.2

Вычтем $x$ из $- 2 x$ .

$- x^{2} - 3 x + 15 = - 3$

Этап 5.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} - 3 x + 15 + 3 = 0$

Этап 5.5

Добавим $15$ и $3$ .

$- x^{2} - 3 x + 18 = 0$

Этап 5.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 3 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 18 = 0$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 18 = 0$

Этап 5.6.1.3

Перепишем $18$ в виде $- 1 (- 18)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Этап 5.6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Этап 5.6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 18)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 18) = 0$

Этап 5.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 5.6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 6)) = 0$

Этап 5.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 6) = 0$

Этап 5.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Этап 5.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.9

Приравняем $x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Приравняем $x + 6$ к $0$ .

$x + 6 = 0$

Этап 5.9.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x = - 6$

Этап 5.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 6) = 0$ верно.

$x = 3, - 6$

Этап 6

Перечислим все решения.

$x = 3, - 4, 3, - 6$