Конечная математика Примеры

$(0, 5)$ , $(- 1, 5.25)$ , $(5, 18.75)$

Этап 1

Воспользуемся стандартной формой квадратного уравнения $y = a x^{2} + b x + c$ в качестве начальной точки, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через три данные точки.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 2

Составим систему уравнений, подставив значения $x$ и $y$ для каждой точки в стандартную формулу квадратного уравнения, чтобы получить систему из трех уравнений.

$5 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 18.75 = a {(5)}^{2} + b (5) + c$

Этап 3

Решим систему уравнений, чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $c$ в $5 = a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $a \cdot 0^{2} + c = 5$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.1.2

Упростим $a \cdot 0^{2} + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$a \cdot 0 + c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $a$ на $0$ .

$0 + c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$0 + c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $c$ .

$c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$c = 5$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $c$ на $5$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $c$ в $5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ на $5$ .

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.2

Упростим $5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$5.25 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5.25 = a \cdot 1 + b (- 1) + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.2.2.1.2

Умножим $a$ на $1$ .

$5.25 = a + b (- 1) + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.2.2.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $b$ .

$5.25 = a - 1 b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.2.2.1.4

Перепишем $- 1 b$ в виде $- b$ .

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $c$ в $18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + c$ на $5$ .

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

Этап 3.2.4

Упростим $18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Избавимся от скобок.

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = a \cdot 5^{2} + b (5) + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

Этап 3.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$18.75 = a \cdot 25 + b (5) + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

Этап 3.2.4.2.1.2

Перенесем $25$ влево от $a$ .

$18.75 = 25 \cdot a + b (5) + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

Этап 3.2.4.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $b$ .

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$5.25 = a - b + 5$

$c = 5$

Этап 3.3

Решим относительно $a$ в $5.25 = a - b + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $a - b + 5 = 5.25$ .

$a - b + 5 = 5.25$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $b$ к обеим частям уравнения.

$a + 5 = 5.25 + b$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$a = 5.25 + b - 5$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $5$ из $5.25$ .

$a = b + 0.25$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

$a = b + 0.25$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

$a = b + 0.25$

$18.75 = 25 a + 5 b + 5$

$c = 5$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $a$ на $b + 0.25$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $a$ в $18.75 = 25 a + 5 b + 5$ на $b + 0.25$ .

$18.75 = 25 (b + 0.25) + 5 b + 5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $25 (b + 0.25) + 5 b + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18.75 = 25 b + 25 \cdot 0.25 + 5 b + 5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $25$ на $0.25$ .

$18.75 = 25 b + 6.25 + 5 b + 5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$18.75 = 25 b + 6.25 + 5 b + 5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Добавим $25 b$ и $5 b$ .

$18.75 = 30 b + 6.25 + 5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.4.2.1.2.2

Добавим $6.25$ и $5$ .

$18.75 = 30 b + 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$18.75 = 30 b + 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$18.75 = 30 b + 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$18.75 = 30 b + 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$18.75 = 30 b + 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5

Решим относительно $b$ в $18.75 = 30 b + 11.25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $30 b + 11.25 = 18.75$ .

$30 b + 11.25 = 18.75$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $11.25$ из обеих частей уравнения.

$30 b = 18.75 - 11.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.2.2

Вычтем $11.25$ из $18.75$ .

$30 b = 7.5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$30 b = 7.5$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $30 b = 7.5$ на $30$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $30 b = 7.5$ на $30$ .

$\frac{30 b}{30} = \frac{7.5}{30}$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 b}{30} = \frac{7.5}{30}$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $b$ на $1$ .

$b = \frac{7.5}{30}$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$b = \frac{7.5}{30}$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$b = \frac{7.5}{30}$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Разделим $7.5$ на $30$ .

$b = 0.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$b = 0.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$b = 0.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

$b = 0.25$

$a = b + 0.25$

$c = 5$

Этап 3.6

Заменим все вхождения $b$ на $0.25$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Заменим все вхождения $b$ в $a = b + 0.25$ на $0.25$ .

$a = (0.25) + 0.25$

$b = 0.25$

$c = 5$

Этап 3.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $0.25$ и $0.25$ .

$a = 0.5$

$b = 0.25$

$c = 5$

$a = 0.5$

$b = 0.25$

$c = 5$

$a = 0.5$

$b = 0.25$

$c = 5$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$a = 0.5, b = 0.25, c = 5$

Этап 4

Подставим фактические значения $a$ , $b$ и $c$ в формулу квадратного уравнения, чтобы найти результирующее уравнение.

$y = 0.5 x^{2} + 0.25 x + 5$

Этап 5