Конечная математика Примеры

${(2 + x)}^{13}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{13} \frac{13!}{(13 - k)! k!} \cdot {(2)}^{13 - k} \cdot {(x)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{13!}{(13 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{13 - 0} \cdot {(x)}^{0} + \frac{13!}{(13 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{13 - 1} \cdot {(x)}^{1} + \dots + \frac{13!}{(13 - 13)! 13!} \cdot {(2)}^{13 - 13} \cdot {(x)}^{13}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2)}^{13} \cdot {(x)}^{0} + 13 \cdot {(2)}^{12} \cdot {(x)}^{1} + \dots + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(x)}^{13}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$8192 + 53248 x + 159744 x^{2} + 292864 x^{3} + 366080 x^{4} + 329472 x^{5} + 219648 x^{6} + 109824 x^{7} + 41184 x^{8} + 11440 x^{9} + 2288 x^{10} + 312 x^{11} + 26 x^{12} + x^{13}$