Конечная математика Примеры

${(2 + 3 i)}^{2}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид

${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

${(2)}^{2}$ на

$1$ .

${(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.2

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.3

Применим правило умножения к

$3 i$ .

$4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.4

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.5

Умножим

$i^{0}$ на

$1$ .

$4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.6

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.7

Умножим

$4$ на

$1$ .

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.8

Найдем экспоненту.

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.9

Умножим

$2$ на

$2$ .

$4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.10

Упростим.

$4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.11

Умножим

$3$ на

$4$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.12

Умножим

${(2)}^{0}$ на

$1$ .

$4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.13

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.14

Умножим

${(3 i)}^{2}$ на

$1$ .

$4 + 12 i + {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.15

Применим правило умножения к

$3 i$ .

$4 + 12 i + 3^{2} i^{2}$

Этап 4.1.16

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$4 + 12 i + 9 i^{2}$

Этап 4.1.17

Перепишем

$i^{2}$ в виде

$- 1$ .

$4 + 12 i + 9 \cdot - 1$

Этап 4.1.18

Умножим

$9$ на

$- 1$ .

$4 + 12 i - 9$

Этап 4.2

Вычтем

$9$ из

$4$ .

$- 5 + 12 i$