Конечная математика Примеры

${(2 + 3 i)}^{2}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{2} \frac{2!}{(2 - k)! k!} \cdot {(2)}^{2 - k} \cdot {(3 i)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{2!}{(2 - 0)! 0!} \cdot {(2)}^{2 - 0} \cdot {(3 i)}^{0} + \frac{2!}{(2 - 1)! 1!} \cdot {(2)}^{2 - 1} \cdot {(3 i)}^{1} + \frac{2!}{(2 - 2)! 2!} \cdot {(2)}^{2 - 2} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим ${(2)}^{2}$ на $1$ .

${(2)}^{2} \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 \cdot {(3 i)}^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.3

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4 \cdot (3^{0} i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot (1 i^{0}) + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.5

Умножим $i^{0}$ на $1$ .

$4 \cdot i^{0} + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot 1 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 2 \cdot {(2)}^{1} \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.8

Найдем экспоненту.

$4 + 2 \cdot 2 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.9

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 4 \cdot {(3 i)}^{1} + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.10

Упростим.

$4 + 4 \cdot (3 i) + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.11

Умножим $3$ на $4$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.12

Умножим ${(2)}^{0}$ на $1$ .

$4 + 12 i + {(2)}^{0} \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.13

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 + 12 i + 1 \cdot {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.14

Умножим ${(3 i)}^{2}$ на $1$ .

$4 + 12 i + {(3 i)}^{2}$

Этап 4.1.15

Применим правило умножения к $3 i$ .

$4 + 12 i + 3^{2} i^{2}$

Этап 4.1.16

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 + 12 i + 9 i^{2}$

Этап 4.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$4 + 12 i + 9 \cdot - 1$

Этап 4.1.18

Умножим $9$ на $- 1$ .

$4 + 12 i - 9$

Этап 4.2

Вычтем $9$ из $4$ .

$- 5 + 12 i$