Конечная математика Примеры

${(a^{5} - \frac{1}{2 a^{3}})}^{14}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{14} \frac{14!}{(14 - k)! k!} \cdot {(a^{5})}^{14 - k} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{14!}{(14 - 0)! 0!} \cdot {(a^{5})}^{14 - 0} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{0} + \frac{14!}{(14 - 1)! 1!} \cdot {(a^{5})}^{14 - 1} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{1} + \dots + \frac{14!}{(14 - 14)! 14!} \cdot {(a^{5})}^{14 - 14} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{14}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(a^{5})}^{14} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{0} + 14 \cdot {(a^{5})}^{13} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(a^{5})}^{0} \cdot {(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{14}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$a^{70} - 7 a^{62} + \frac{91 a^{54}}{4} - \frac{91 a^{46}}{2} + \frac{1001 a^{38}}{16} - \frac{1001 a^{30}}{16} + \frac{3003 a^{22}}{64} - \frac{429 a^{14}}{16} + \frac{3003 a^{6}}{256} - \frac{1001}{256 a^{2}} + \frac{1001}{1024 a^{10}} - \frac{91}{512 a^{18}} + \frac{91}{4096 a^{26}} - \frac{7}{4096 a^{34}} + \frac{1}{16384 a^{42}}$