Конечная математика Примеры

$- 7 x + 3 y = 4$ , $4 x - 5 y = 24$

Этап 1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2

Добавим $7 x$ к обеим частям уравнения.

$3 y = 4 + 7 x$

Этап 1.3

Разделим каждый член $3 y = 4 + 7 x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $3 y = 4 + 7 x$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{7 x}{3}$

Этап 1.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $\frac{4}{3}$ и $\frac{7 x}{3}$ .

$y = \frac{7 x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$

Этап 2

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $\frac{7}{3}$ .

$m_{1} = \frac{7}{3}$

Этап 3

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y = m x + b$

Этап 3.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y = 24 - 4 x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 5 y = 24 - 4 x$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 5 y = 24 - 4 x$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{24}{- 5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{- 4 x}{- 5}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{24}{5} + \frac{4 x}{5}$

Этап 3.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $- \frac{24}{5}$ и $\frac{4 x}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{24}{5}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{4}{5} x - \frac{24}{5}$

Этап 4

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $\frac{4}{5}$ .

$m_{2} = \frac{4}{5}$

Этап 5

Составим систему уравнений, чтобы найти любые точки пересечения.

$- 7 x + 3 y = 4, 4 x - 5 y = 24$

Этап 6

Решим систему уравнений, чтобы найти точку пересечения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $x$ в $- 7 x + 3 y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = 4 - 3 y$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.1.2

Разделим каждый член $- 7 x = 4 - 3 y$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = 4 - 3 y$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = \frac{4}{- 7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{- 3 y}{- 7}$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.1.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$4 x - 5 y = 24$

Этап 6.2

Заменим все вхождения $x$ на $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $4 x - 5 y = 24$ на $- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ .

$4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $4 (- \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}) - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (- \frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $4 (- \frac{4}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\frac{4}{7}) + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{4}{7}$ .

$\frac{- 4 \cdot 4}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.2.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + 4 (\frac{3 y}{7}) - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Умножим $4 \frac{3 y}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Объединим $4$ и $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{4 (3 y)}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$\frac{- 16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $- 5 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} - 5 y \cdot \frac{7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим $- 5 y$ и $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y}{7} + \frac{- 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{16}{7} + \frac{12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 16 + 12 y - 5 y \cdot 7}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.6

Умножим $7$ на $- 5$ .

$\frac{- 16 + 12 y - 35 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.7

Вычтем $35 y$ из $12 y$ .

$\frac{- 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.8

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 23 y$ .

$\frac{- 1 \cdot 16 - (23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (16) - (23 y)$ .

$\frac{- 1 (16 + 23 y)}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.2.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3

Решим относительно $y$ в $- \frac{16 + 23 y}{7} = 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части уравнения на $- 7$ .

$- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $- 7 (- \frac{16 + 23 y}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{16 + 23 y}{7}$ в числитель.

$- 7 \frac{- (16 + 23 y)}{7} = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.1.1.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$7 (- 1) (\frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$7 \cdot (- 1 \frac{- (16 + 23 y)}{7}) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (16 + 23 y) = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Умножим $16 + 23 y$ на $1$ .

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 7 \cdot 24$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Умножим $- 7$ на $24$ .

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$16 + 23 y = - 168$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$23 y = - 168 - 16$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.3.2

Вычтем $16$ из $- 168$ .

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$23 y = - 184$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.4

Разделим каждый член $23 y = - 184$ на $23$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Разделим каждый член $23 y = - 184$ на $23$ .

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1

Сократим общий множитель $23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{23 y}{23} = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = \frac{- 184}{23}$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.3.1

Разделим $- 184$ на $23$ .

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

$y = - 8$

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$

Этап 6.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - \frac{4}{7} + \frac{3 y}{7}$ на $- 8$ .

$x = - \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $- \frac{4}{7} + \frac{3 (- 8)}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 4 + 3 (- 8)}{7}$

$y = - 8$

Этап 6.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Умножим $3$ на $- 8$ .

$x = \frac{- 4 - 24}{7}$

$y = - 8$

Этап 6.4.2.1.2.2

Вычтем $24$ из $- 4$ .

$x = \frac{- 28}{7}$

$y = - 8$

Этап 6.4.2.1.2.3

Разделим $- 28$ на $7$ .

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

$x = - 4$

$y = - 8$

Этап 6.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 4, - 8)$

Этап 7

Поскольку эти прямые имеют разные угловые коэффициенты, они пересекаются в одной точке.

$m_{1} = \frac{7}{3}$

$m_{2} = \frac{4}{5}$

$(- 4, - 8)$

Этап 8