Конечная математика Примеры

${(- \sqrt{3} + i)}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(- \sqrt{3})}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- {\sqrt{3}}^{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$- \sqrt{3^{3}} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \sqrt{27} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.5

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$- \sqrt{9 (3)} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \sqrt{3^{2} \cdot 3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$- (3 \sqrt{3}) + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(- \sqrt{3})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.8

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 (1 {\sqrt{3}}^{2}) i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.10

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {\sqrt{3}}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.4.1

Сократим общий множитель.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11.4.2

Перепишем это выражение.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3^{1} i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.11.5

Найдем экспоненту.

$- 3 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.12

Умножим $3$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 (- \sqrt{3}) i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} i^{2} + i^{3}$

Этап 2.1.14

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i - 3 \sqrt{3} \cdot - 1 + i^{3}$

Этап 2.1.15

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{3}$

Этап 2.1.16

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} + i^{2} \cdot i$

Этап 2.1.17

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - 1 \cdot i$

Этап 2.1.18

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$- 3 \sqrt{3} + 9 i + 3 \sqrt{3} - i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $- 3 \sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$0 + 9 i - i$

Этап 2.2.2

Добавим $0$ и $9 i$ .

$9 i - i$

Этап 2.2.3

Вычтем $i$ из $9 i$ .

$8 i$