Конечная математика Примеры

$2 x - 3 y = 4$ , $3 x - 5 y = 2$

Этап 1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y = 4 - 2 x$

Этап 1.3

Разделим каждый член $- 3 y = 4 - 2 x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $- 3 y = 4 - 2 x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{- 3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{- 2 x}{- 3}$

Этап 1.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{4}{3} + \frac{2 x}{3}$

Этап 1.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $- \frac{4}{3}$ и $\frac{2 x}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$

Этап 2

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $\frac{2}{3}$ .

$m_{1} = \frac{2}{3}$

Этап 3

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y = m x + b$

Этап 3.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$- 5 y = 2 - 3 x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 5 y = 2 - 3 x$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 5 y = 2 - 3 x$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{- 5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{- 3 x}{- 5}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{2}{5} + \frac{3 x}{5}$

Этап 3.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $- \frac{2}{5}$ и $\frac{3 x}{5}$ .

$y = \frac{3 x}{5} - \frac{2}{5}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5}$

Этап 4

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $\frac{3}{5}$ .

$m_{2} = \frac{3}{5}$

Этап 5

Составим систему уравнений, чтобы найти любые точки пересечения.

$2 x - 3 y = 4, 3 x - 5 y = 2$

Этап 6

Решим систему уравнений, чтобы найти точку пересечения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $x$ в $2 x - 3 y = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 4 + 3 y$

$3 x - 5 y = 2$

Этап 6.1.2

Разделим каждый член $2 x = 4 + 3 y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разделим каждый член $2 x = 4 + 3 y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Этап 6.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Этап 6.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = \frac{4}{2} + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Этап 6.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$3 x - 5 y = 2$

Этап 6.2

Заменим все вхождения $x$ на $2 + \frac{3 y}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x - 5 y = 2$ на $2 + \frac{3 y}{2}$ .

$3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $3 (2 + \frac{3 y}{2}) - 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 2 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 + 3 (\frac{3 y}{2}) - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Умножим $3 \frac{3 y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Объединим $3$ и $\frac{3 y}{2}$ .

$6 + \frac{3 (3 y)}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $- 5 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} - 5 y \cdot \frac{2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Объединим $- 5 y$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 + \frac{9 y}{2} + \frac{- 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{9 y - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $y$ из $9 y - 5 y \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $9 y$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 - 5 y \cdot 2}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 5 y \cdot 2$ .

$6 + \frac{y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 9 + y (- 5 \cdot 2)$ .

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y (9 - 5 \cdot 2)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.1.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$6 + \frac{y (9 - 10)}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.1.3

Вычтем $10$ из $9$ .

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 + \frac{y \cdot - 1}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$6 + \frac{- 1 \cdot y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.2.2.1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$6 - \frac{y}{2} = 2$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3

Решим относительно $y$ в $6 - \frac{y}{2} = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{2} = 2 - 6$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.1.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$- \frac{y}{2} = - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) (\frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot (- 1 \frac{- y}{2}) = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = - 2 \cdot - 4$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

$y = 8$

$x = 2 + \frac{3 y}{2}$

Этап 6.4

Заменим все вхождения $y$ на $8$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 + \frac{3 y}{2}$ на $8$ .

$x = 2 + \frac{3 (8)}{2}$

$y = 8$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $2 + \frac{3 (8)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим $3$ на $8$ .

$x = 2 + \frac{24}{2}$

$y = 8$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $24$ на $2$ .

$x = 2 + 12$

$y = 8$

Этап 6.4.2.1.3

Добавим $2$ и $12$ .

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

$x = 14$

$y = 8$

Этап 6.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(14, 8)$

Этап 7

Поскольку эти прямые имеют разные угловые коэффициенты, они пересекаются в одной точке.

$m_{1} = \frac{2}{3}$

$m_{2} = \frac{3}{5}$

$(14, 8)$

Этап 8