Конечная математика Примеры

$2 x + 5 y = 10$ , $x - 3 y = 3$

Этап 1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$5 y = 10 - 2 x$

Этап 1.3

Разделим каждый член $5 y = 10 - 2 x$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $5 y = 10 - 2 x$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{10}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Разделим $10$ на $5$ .

$y = 2 + \frac{- 2 x}{5}$

Этап 1.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 - \frac{2 x}{5}$

Этап 1.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $2$ и $- \frac{2 x}{5}$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{5} x) + 2$

Этап 1.4.3

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{5} x + 2$

Этап 2

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $- \frac{2}{5}$ .

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

Этап 3

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y = m x + b$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 3 y = 3 - x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 3 y = 3 - x$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 3 y = 3 - x$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{3}{- 3} + \frac{- x}{- 3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Разделим $3$ на $- 3$ .

$y = - 1 + \frac{- x}{- 3}$

Этап 3.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - 1 + \frac{x}{3}$

Этап 3.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $- 1$ и $\frac{x}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - 1$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x - 1$

Этап 4

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $\frac{1}{3}$ .

$m_{2} = \frac{1}{3}$

Этап 5

Составим систему уравнений, чтобы найти любые точки пересечения.

$2 x + 5 y = 10, x - 3 y = 3$

Этап 6

Решим систему уравнений, чтобы найти точку пересечения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$x = 3 + 3 y$

$2 x + 5 y = 10$

Этап 6.2

Заменим все вхождения $x$ на $3 + 3 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $2 x + 5 y = 10$ на $3 + 3 y$ .

$2 (3 + 3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $2 (3 + 3 y) + 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 3 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 + 2 (3 y) + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.2.2.1.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 6 y + 5 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.2.2.1.2

Добавим $6 y$ и $5 y$ .

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

$6 + 11 y = 10$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.3

Решим относительно $y$ в $6 + 11 y = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$11 y = 10 - 6$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.3.1.2

Вычтем $6$ из $10$ .

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

$11 y = 4$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.3.2

Разделим каждый член $11 y = 4$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $11 y = 4$ на $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 y}{11} = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + 3 y$

Этап 6.4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{4}{11}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 3 + 3 y$ на $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + 3 (\frac{4}{11})$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $3 + 3 (\frac{4}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Умножим $3 (\frac{4}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Объединим $3$ и $\frac{4}{11}$ .

$x = 3 + \frac{3 \cdot 4}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = 3 + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$x = 3 \cdot \frac{11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.3

Объединим $3$ и $\frac{11}{11}$ .

$x = \frac{3 \cdot 11}{11} + \frac{12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3 \cdot 11 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.5.1

Умножим $3$ на $11$ .

$x = \frac{33 + 12}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.4.2.1.5.2

Добавим $33$ и $12$ .

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

$x = \frac{45}{11}$

$y = \frac{4}{11}$

Этап 6.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Этап 7

Поскольку эти прямые имеют разные угловые коэффициенты, они пересекаются в одной точке.

$m_{1} = - \frac{2}{5}$

$m_{2} = \frac{1}{3}$

$(\frac{45}{11}, \frac{4}{11})$

Этап 8