Конечная математика Примеры

$3 x + 4 y = 2$ , $4 x + 3 y = 4$

Этап 1

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид $y = m x + b$ , где $m$ — угловой коэффициент, а $b$ — точка пересечения с осью y.

$y = m x + b$

Этап 1.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$4 y = 2 - 3 x$

Этап 1.3

Разделим каждый член $4 y = 2 - 3 x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $4 y = 2 - 3 x$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = \frac{2 (1)}{4} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2} + \frac{- 3 x}{4}$

Этап 1.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Этап 1.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок $\frac{1}{2}$ и $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{1}{2}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{3}{4} x) + \frac{1}{2}$

Этап 1.4.3

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Этап 2

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $- \frac{3}{4}$ .

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

Этап 3

Запишем в виде уравнения с угловым коэффициентом.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$y = m x + b$

Этап 3.2

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y = 4 - 4 x$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 y = 4 - 4 x$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 y = 4 - 4 x$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{3} + \frac{- 4 x}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{4}{3} - \frac{4 x}{3}$

Этап 3.4

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $\frac{4}{3}$ и $- \frac{4 x}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{4}{3}$

Этап 3.4.3

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$

Этап 4

Использование уравнения с угловым коэффициентом, угловой коэффициент: $- \frac{4}{3}$ .

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

Этап 5

Составим систему уравнений, чтобы найти любые точки пересечения.

$3 x + 4 y = 2, 4 x + 3 y = 4$

Этап 6

Решим систему уравнений, чтобы найти точку пересечения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $x$ в $3 x + 4 y = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$3 x = 2 - 4 y$

$4 x + 3 y = 4$

Этап 6.1.2

Разделим каждый член $3 x = 2 - 4 y$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2 - 4 y$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Этап 6.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Этап 6.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Этап 6.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$4 x + 3 y = 4$

Этап 6.2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $4 x + 3 y = 4$ на $\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $4 (\frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}) + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\frac{2}{3}) + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Умножим $4 (\frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + 4 (- \frac{4 y}{3}) + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Умножим $4 (- \frac{4 y}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{8}{3} - 4 \frac{4 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 4 (4 y)}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Чтобы записать $3 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + 3 y \cdot \frac{3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Объединим $3 y$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} - \frac{16 y}{3} + \frac{3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{3} + \frac{- 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 16 y + 3 y \cdot 3}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.6

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{8 - 16 y + 9 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.2.2.1.7

Добавим $- 16 y$ и $9 y$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{8 - 7 y}{3} = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3

Решим относительно $y$ в $\frac{8 - 7 y}{3} = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим $\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 - 7 y}{3} \cdot 3 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 - 7 y = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Изменим порядок $8$ и $- 7 y$ .

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 4 \cdot 3$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y + 8 = 12$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 7 y = 12 - 8$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3.1.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 7 y = 4$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $- 7 y = 4$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 7 y = 4$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 y}{- 7} = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{4}{- 7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$

Этап 6.4

Заменим все вхождения $y$ на $- \frac{4}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{2}{3} - \frac{4 y}{3}$ на $- \frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим $\frac{2}{3} - \frac{4 (- \frac{4}{7})}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 - 4 (- \frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $- 4 (- \frac{4}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{2 + 4 (\frac{4}{7})}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.2.2

Объединим $4$ и $\frac{4}{7}$ .

$x = \frac{2 + \frac{4 \cdot 4}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.2.3

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{2 + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{2 \cdot \frac{7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7}{7} + \frac{16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.6.1

Умножим $2$ на $7$ .

$x = \frac{\frac{14 + 16}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.6.2

Добавим $14$ и $16$ .

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{\frac{30}{7}}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{30}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.8.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$x = \frac{3 (10)}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 \cdot 10}{7} \cdot \frac{1}{3}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.4.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

$x = \frac{10}{7}$

$y = - \frac{4}{7}$

Этап 6.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Этап 7

Поскольку эти прямые имеют разные угловые коэффициенты, они пересекаются в одной точке.

$m_{1} = - \frac{3}{4}$

$m_{2} = - \frac{4}{3}$

$(\frac{10}{7}, - \frac{4}{7})$

Этап 8