Конечная математика Примеры

$\frac{i^{4} + i^{9} + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(i^{2})}^{2} + i^{9} + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + i^{9} + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + i^{9} + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.2

Перепишем $i^{9}$ в виде ${(i^{4})}^{2} i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем $i^{8}$ за скобки.

$\frac{1 + i^{8} i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.2.2

Перепишем $i^{8}$ в виде ${(i^{4})}^{2}$ .

$\frac{1 + {(i^{4})}^{2} i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.3

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1 + {({(i^{2})}^{2})}^{2} i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.3.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 + {({(- 1)}^{2})}^{2} i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + 1^{2} i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 1 i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.5

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1 + i + i^{16}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.6

Перепишем $i^{16}$ в виде ${(i^{4})}^{4}$ .

$\frac{1 + i + {(i^{4})}^{4}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.7

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1 + i + {({(i^{2})}^{2})}^{4}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.7.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 + i + {({(- 1)}^{2})}^{4}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.7.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 + i + 1^{4}}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + i + 1}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i^{5} + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$\frac{2 + i}{2 + i^{4} i + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2.2

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 + i}{2 + {(i^{2})}^{2} i + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2.2.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 + i}{2 + {(- 1)}^{2} i + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 + i}{2 + 1 i + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2.3

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + i^{10} + i^{15}}$

Этап 2.4

Перепишем $i^{10}$ в виде ${(i^{4})}^{2} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем $i^{8}$ за скобки.

$\frac{2 + i}{2 + i + i^{8} i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.4.2

Перепишем $i^{8}$ в виде ${(i^{4})}^{2}$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + {(i^{4})}^{2} i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.5

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + {({(i^{2})}^{2})}^{2} i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + {({(- 1)}^{2})}^{2} i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.5.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + 1^{2} i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 + i}{2 + i + 1 i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.7

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i + i^{2} + i^{15}}$

Этап 2.8

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + i^{15}}$

Этап 2.9

Перепишем $i^{15}$ в виде ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем $i^{12}$ за скобки.

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + i^{12} i^{3}}$

Этап 2.9.2

Перепишем $i^{12}$ в виде ${(i^{4})}^{3}$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + {(i^{4})}^{3} i^{3}}$

Этап 2.9.3

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + {(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.10

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + {({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.10.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + {({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.10.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + 1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.11

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + 1 (i^{2} \cdot i)}$

Этап 2.12

Умножим $i^{2} \cdot i$ на $1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 + i^{2} \cdot i}$

Этап 2.13

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 - 1 \cdot i}$

Этап 2.14

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\frac{2 + i}{2 + i - 1 - i}$

Этап 2.15

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{2 + i}{1 + i - i}$

Этап 2.16

Вычтем $i$ из $i$ .

$\frac{2 + i}{1 + 0}$

Этап 2.17

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 + i}{1}$

Этап 3

Разделим $2 + i$ на $1$ .

$2 + i$