Конечная математика Примеры

$f (n) = 2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4$ , $h (t) = \frac{t + 4}{t - 2}$ , $((h \circ f)) (0)$

Этап 1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$h (f (n))$

Этап 2

Найдем значение $h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4)$ , подставив значение $f$ в $h$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3

Сократим общий множитель $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) + 4$ и $(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 4}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{(2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) - 2}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 4 - 2}$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2) - 2}$

Этап 3.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1}) + 2 (2)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) - 2}$

Этап 3.6.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)}$

Этап 3.6.5

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2) + 2 (- 1)$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Этап 3.6.6

Сократим общий множитель.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2)}{2 ({(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1)}$

Этап 3.6.7

Перепишем это выражение.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 + 2}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + 4 \cdot \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4.5

Объединим $4$ и $\frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 2 - 1}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 2 - 1}$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + 1}$

Этап 5.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1}{3^{n - 1}} + \frac{3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{\frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}{\frac{1 + 3^{n - 1}}{3^{n - 1}}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Этап 7

Сократим общий множитель $3^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{3^{n - 1}} \cdot \frac{3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = (1 + 4 \cdot 3^{n - 1}) (\frac{1}{1 + 3^{n - 1}})$

Этап 8

Умножим $1 + 4 \cdot 3^{n - 1}$ на $\frac{1}{1 + 3^{n - 1}}$ .

$h (2 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} + 4) = \frac{1 + 4 \cdot 3^{n - 1}}{1 + 3^{n - 1}}$

Этап 9

Найдем значение результирующей функции, заменив $n$ на $0$ в функции.

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{(0) - 1}}{1 + 3^{(0) - 1}}$

Этап 10

Упростим найденную функцию.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1 + 4 \cdot 3^{- 1}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + 4 \cdot \frac{1}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.1.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1 + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 + 4}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.1.6

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{0 - 1}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + 3^{- 1}}$

Этап 10.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{1 + \frac{1}{3}}$

Этап 10.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Этап 10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{3 + 1}{3}}$

Этап 10.2.5

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}}$

Этап 10.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{4}$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$7 (\frac{1}{4})$

Этап 10.5

Объединим $7$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7}{4}$

Десятичная форма:

$1.75$

Форма смешанных чисел:

$1 \frac{3}{4}$