Конечная математика Примеры

$x + 2 y - z = - 4$ , $2 x + y + z = 7$ , $x + 3 y + 2 z = 7$ , $x - 3 y + z = 9$

Этап 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 2 & 1 & 1 & 7 \\ 1 & 3 & 2 & 7 \\ 1 & - 3 & 1 & 9 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 2 & 1 - 2 \cdot - 1 & 7 - 2 \cdot - 4 \\ 1 & 3 & 2 & 7 \\ 1 & - 3 & 1 & 9 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 & 3 & 15 \\ 1 & 3 & 2 & 7 \\ 1 & - 3 & 1 & 9 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 & 3 & 15 \\ 1 - 1 & 3 - 2 & 2 + 1 & 7 + 4 \\ 1 & - 3 & 1 & 9 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 & 3 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & - 3 & 1 & 9 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 & 3 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 11 \\ 1 - 1 & - 3 - 2 & 1 + 1 & 9 + 4 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & - 3 & 3 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & - 5 & 2 & 13 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 3 & - \frac{1}{3} \cdot 15 \\ 0 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & - 5 & 2 & 13 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & - 5 & 2 & 13 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 3 + 1 & 11 + 5 \\ 0 & - 5 & 2 & 13 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & - 5 & 2 & 13 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 2 + 5 \cdot - 1 & 13 + 5 \cdot - 5 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 4 & 16 \\ 0 & 0 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.7

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{4}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ \frac{0}{4} & \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{16}{4} \\ 0 & 0 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.8

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 1 & - 5 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.9

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 5 + 1 \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.9.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.10

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & 2 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 4 + 1 \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.10.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.11

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.11.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 2$

$y = - 1$

$z = 4$

$0 = 0$

Этап 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(2, - 1, 4)$