Конечная математика Примеры

$2 x + 7 y - 5 z = 0$ , $5 x - 2 y + 6 z = 1$ , $7 x + 5 y + z = 1$

Этап 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 2 & 7 & - 5 & 0 \\ 5 & - 2 & 6 & 1 \\ 7 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{7}{2} & \frac{- 5}{2} & \frac{0}{2} \\ 5 & - 2 & 6 & 1 \\ 7 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 5 & - 2 & 6 & 1 \\ 7 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{7}{2}) & 6 - 5 (- \frac{5}{2}) & 1 - 5 \cdot 0 \\ 7 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \\ 7 & 5 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \\ 7 - 7 \cdot 1 & 5 - 7 (\frac{7}{2}) & 1 - 7 (- \frac{5}{2}) & 1 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{39}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{39}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ - \frac{2}{39} \cdot 0 & - \frac{2}{39} (- \frac{39}{2}) & - \frac{2}{39} \cdot \frac{37}{2} & - \frac{2}{39} \cdot 1 \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{37}{39} & - \frac{2}{39} \\ 0 & - \frac{39}{2} & \frac{37}{2} & 1 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{39}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{39}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{37}{39} & - \frac{2}{39} \\ 0 + \frac{39}{2} \cdot 0 & - \frac{39}{2} + \frac{39}{2} \cdot 1 & \frac{37}{2} + \frac{39}{2} (- \frac{37}{39}) & 1 + \frac{39}{2} (- \frac{2}{39}) \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{2} & - \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{37}{39} & - \frac{2}{39} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{7}{2} \cdot 0 & \frac{7}{2} - \frac{7}{2} \cdot 1 & - \frac{5}{2} - \frac{7}{2} (- \frac{37}{39}) & 0 - \frac{7}{2} (- \frac{2}{39}) \\ 0 & 1 & - \frac{37}{39} & - \frac{2}{39} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{32}{39} & \frac{7}{39} \\ 0 & 1 & - \frac{37}{39} & - \frac{2}{39} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{32}{39} z = \frac{7}{39}$

$y - \frac{37}{39} z = - \frac{2}{39}$

$0 = 0$

Этап 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{7}{39} - \frac{32 z}{39}, - \frac{2}{39} + \frac{37 z}{39}, z)$