Конечная математика Примеры

$- 5 x - y - 8 z = - 49$ , $- 4 x - 6 z = - 36$ , $6 y + z = 20$

Этап 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} - 5 & - 1 & - 8 & - 49 \\ - 4 & 0 & - 6 & - 36 \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 1 & - \frac{1}{5} \cdot - 8 & - \frac{1}{5} \cdot - 49 \\ - 4 & 0 & - 6 & - 36 \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ - 4 & 0 & - 6 & - 36 \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ - 4 + 4 \cdot 1 & 0 + 4 (\frac{1}{5}) & - 6 + 4 (\frac{8}{5}) & - 36 + 4 (\frac{49}{5}) \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & \frac{4}{5} & \frac{2}{5} & \frac{16}{5} \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{4}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ \frac{5}{4} \cdot 0 & \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} & \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} & \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{5} \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 4 \\ 0 & 6 & 1 & 20 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 4 \\ 0 - 6 \cdot 0 & 6 - 6 \cdot 1 & 1 - 6 (\frac{1}{2}) & 20 - 6 \cdot 4 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 4 \\ 0 & 0 & - 2 & - 4 \end{array}]$

Этап 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 4 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{2} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 4 - \frac{1}{2} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & \frac{8}{5} & \frac{49}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{8}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{8}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{8}{5} \cdot 0 & \frac{8}{5} - \frac{8}{5} \cdot 1 & \frac{49}{5} - \frac{8}{5} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{5} & 0 & \frac{33}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{1}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{5} \cdot 0 & \frac{33}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 6$

$y = 3$

$z = 2$

Этап 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(6, 3, 2)$