Конечная математика Примеры

$6 x - 3 y + 5 z = 11$ , $12 x - 6 y + 10 z = 25$ , $18 x - 9 y + 15 z = 35$

Этап 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 6 & - 3 & 5 & 11 \\ 12 & - 6 & 10 & 25 \\ 18 & - 9 & 15 & 35 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{- 3}{6} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 12 & - 6 & 10 & 25 \\ 18 & - 9 & 15 & 35 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 12 & - 6 & 10 & 25 \\ 18 & - 9 & 15 & 35 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 12 - 12 \cdot 1 & - 6 - 12 (- \frac{1}{2}) & 10 - 12 (\frac{5}{6}) & 25 - 12 (\frac{11}{6}) \\ 18 & - 9 & 15 & 35 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 18 & - 9 & 15 & 35 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 18 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 18 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 18 - 18 \cdot 1 & - 9 - 18 (- \frac{1}{2}) & 15 - 18 (\frac{5}{6}) & 35 - 18 (\frac{11}{6}) \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $2, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{3}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & \frac{11}{6} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{11}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{11}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{11}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{2} - \frac{11}{6} \cdot 0 & \frac{5}{6} - \frac{11}{6} \cdot 0 & \frac{11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y + \frac{5}{6} z = 0$

$0 = 1$

$0 = 0$

Этап 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{y}{2} - \frac{5 z}{6}, y, z)$