Конечная математика Примеры

$p = q^{2} + 8 q + 16$ , $p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Этап 2

Решим $q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$ относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем все члены с $q$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Добавим $3 q^{2}$ к обеим частям уравнения.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} = 6 q + 436$

Этап 2.1.2

Вычтем $6 q$ из обеих частей уравнения.

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} - 6 q = 436$

Этап 2.1.3

Добавим $q^{2}$ и $3 q^{2}$ .

$4 q^{2} + 8 q + 16 - 6 q = 436$

Этап 2.1.4

Вычтем $6 q$ из $8 q$ .

$4 q^{2} + 2 q + 16 = 436$

Этап 2.2

Вычтем $436$ из обеих частей уравнения.

$4 q^{2} + 2 q + 16 - 436 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $436$ из $16$ .

$4 q^{2} + 2 q - 420 = 0$

Этап 2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 q^{2} + 2 q - 420$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 q^{2}$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q - 420 = 0$

Этап 2.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 q$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 (q) - 420 = 0$

Этап 2.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 420$ .

$2 (2 q^{2}) + 2 q + 2 \cdot - 210 = 0$

Этап 2.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 q^{2}) + 2 q$ .

$2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210 = 0$

Этап 2.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210$ .

$2 (2 q^{2} + q - 210) = 0$

Этап 2.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 210 = - 420$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$2 (2 q^{2} + 1 q - 210) = 0$

Этап 2.4.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 20$ плюс $21$

$2 (2 q^{2} + (- 20 + 21) q - 210) = 0$

Этап 2.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 q^{2} - 20 q + 21 q - 210) = 0$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((2 q^{2} - 20 q) + 21 q - 210) = 0$

Этап 2.4.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (2 q (q - 10) + 21 (q - 10)) = 0$

Этап 2.4.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $q - 10$ .

$2 ((q - 10) (2 q + 21)) = 0$

Этап 2.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$

Этап 2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$q - 10 = 0$

$2 q + 21 = 0 + p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

Этап 2.6

Приравняем $q - 10$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $q - 10$ к $0$ .

$q - 10 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$q = 10$

Этап 2.7

Приравняем $2 q + 21$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $2 q + 21$ к $0$ .

$2 q + 21 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $2 q + 21 = 0$ относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$2 q = - 21$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $2 q = - 21$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 q = - 21$ на $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

Этап 2.7.2.2.2.1.2

Разделим $q$ на $1$ .

$q = \frac{- 21}{2}$

Этап 2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$q = - \frac{21}{2}$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$ верно.

$q = 10, - \frac{21}{2}$

Этап 3

Вычислим $p$ , когда $q = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $10$ вместо $q$ .

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$

Этап 3.2

Подставим $10$ вместо $q$ в $p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$ и решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$

Этап 3.2.2

Упростим $- 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $10$ в степень $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10^{1} + 436$

Этап 3.2.2.2

Move the decimal point in $6$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2} + 436$

Этап 3.2.2.3

Вынесем множитель $10^{2}$ из $- 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 3 + 0.6) \cdot 10^{2} + 436$

Этап 3.2.2.4

Добавим $- 3$ и $0.6$ .

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 436$

Этап 3.2.2.5

Convert $436$ to scientific notation.

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$

Этап 3.2.2.6

Вынесем множитель $10^{2}$ из $- 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$ .

$p = (- 2.4 + 4.36) \cdot 10^{2}$

Этап 3.2.2.7

Добавим $- 2.4$ и $4.36$ .

$p = 1.96 \cdot 10^{2}$

Этап 4

Вычислим $p$ , когда $q = - \frac{21}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- \frac{21}{2}$ вместо $q$ .

$p = - 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2

Упростим $- 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{21}{2}$ .

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$p = - 3 (1 \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$p = - 3 \frac{21^{2}}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.4

Возведем $21$ в степень $2$ .

$p = - 3 \frac{441}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$p = - 3 (\frac{441}{4}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.6

Умножим $- 3 (\frac{441}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.6.1

Объединим $- 3$ и $\frac{441}{4}$ .

$p = \frac{- 3 \cdot 441}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.6.2

Умножим $- 3$ на $441$ .

$p = \frac{- 1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{21}{2}$ в числитель.

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (\frac{- 21}{2}) + 436$

Этап 4.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$p = - \frac{1323}{4} + 2 (3) \frac{- 21}{2} + 436$

Этап 4.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$p = - \frac{1323}{4} + 2 \cdot 3 \frac{- 21}{2} + 436$

Этап 4.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$p = - \frac{1323}{4} + 3 \cdot - 21 + 436$

Этап 4.2.1.9

Умножим $3$ на $- 21$ .

$p = - \frac{1323}{4} - 63 + 436$

Этап 4.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Запишем $- 63$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} + 436$

Этап 4.2.2.2

Умножим $\frac{- 63}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} \cdot \frac{4}{4} + 436$

Этап 4.2.2.3

Умножим $\frac{- 63}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + 436$

Этап 4.2.2.4

Запишем $436$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1}$

Этап 4.2.2.5

Умножим $\frac{436}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 4.2.2.6

Умножим $\frac{436}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$p = \frac{- 1323 - 63 \cdot 4 + 436 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 63$ на $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 436 \cdot 4}{4}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $436$ на $4$ .

$p = \frac{- 1323 - 252 + 1744}{4}$

Этап 4.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вычтем $252$ из $- 1323$ .

$p = \frac{- 1575 + 1744}{4}$

Этап 4.2.5.2

Добавим $- 1575$ и $1744$ .

$p = \frac{169}{4}$

Этап 5

Решения системы уравнений — это все значения, обращающие все уравнения системы в тождество.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10 p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

Этап 6

Перечислим все решения.

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10$

$p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$