Конечная математика Примеры

$x + x y = 7$ , $x - 2 y = - 5$

Этап 1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$x = - 5 + 2 y$

$x + x y = 7$

Этап 2

Заменим все вхождения $x$ на $- 5 + 2 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим все вхождения $x$ в $x + x y = 7$ на $- 5 + 2 y$ .

$(- 5 + 2 y) + (- 5 + 2 y) \cdot y = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $(- 5 + 2 y) + (- 5 + 2 y) \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y \cdot y = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Перенесем $y$ .

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 (y \cdot y) = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 + 2 y - 5 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 2.2.1.2

Вычтем $5 y$ из $2 y$ .

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ в $- 5 - 3 y + 2 y^{2} = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 5 - 3 y + 2 y^{2} - 7 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.1.2

Вычтем $7$ из $- 5$ .

$- 3 y + 2 y^{2} - 12 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

$- 3 y + 2 y^{2} - 12 = 0$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = - 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 12)}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.4.1.3

Добавим $9$ и $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5.1.3

Добавим $9$ и $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 12}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 96}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6.1.3

Добавим $9$ и $96$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + 2 y$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{3 + \sqrt{105}}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 5 + 2 y$ на $\frac{3 + \sqrt{105}}{4}$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{4})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{2 (2)})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = - 5 + 2 (\frac{3 + \sqrt{105}}{2 \cdot 2})$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = - 5 + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$x = \frac{- 10 + 3 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.4.2

Добавим $- 10$ и $3$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{105}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{105})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 4.2.1.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

Этап 5

Заменим все вхождения $y$ на $\frac{3 - \sqrt{105}}{4}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = - 5 + 2 y$ на $\frac{3 - \sqrt{105}}{4}$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{2 (2)})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = - 5 + 2 (\frac{3 - \sqrt{105}}{2 \cdot 2})$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = - 5 + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - 5 + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.2

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = - 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 5 \cdot 2 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$x = \frac{- 10 + 3 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.4.2

Добавим $- 10$ и $3$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = \frac{- 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{105}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (\sqrt{105})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{105})}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 5.2.1.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, \frac{3 + \sqrt{105}}{4})$

$(- \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

В виде точки:

$(- \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, \frac{3 + \sqrt{105}}{4}), (- \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, \frac{3 - \sqrt{105}}{4})$

Форма уравнения:

$x = - \frac{7 - \sqrt{105}}{2}, y = \frac{3 + \sqrt{105}}{4}$

$x = - \frac{7 + \sqrt{105}}{2}, y = \frac{3 - \sqrt{105}}{4}$

Этап 8