Конечная математика Примеры

$x + 3 y = 15$ , $2 x + y = 12$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 2.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 1 - 2 \cdot 3$

Этап 2.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 - 2 \cdot 3$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$1 - 6$

Этап 2.3.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$- 5$

$D = - 5$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 15 & 3 \\ 12 & 1 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$15 \cdot 1 - 12 \cdot 3$

Этап 4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $15$ на $1$ .

$15 - 12 \cdot 3$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $- 12$ на $3$ .

$15 - 36$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $36$ из $15$ .

$- 21$

$D_{x} = - 21$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 21$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 21}{- 5}$

Этап 4.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{21}{5}$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 15 \\ 2 & 12 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 12 - 2 \cdot 15$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 2 \cdot 15$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $15$ .

$12 - 30$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $30$ из $12$ .

$- 18$

$D_{y} = - 18$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $- 5$ for $D$ and $- 18$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 18}{- 5}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{18}{5}$

Этап 6

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{21}{5}$

$y = \frac{18}{5}$