Конечная математика Примеры

$x + 2 y - z = - 1$ , $2 x + y - z = 1$ , $x - 3 y - 5 z = 20$

Этап 1

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$

Этап 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Этап 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Этап 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 (- 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$1 (- 5 - 1 \cdot 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 (- 5 - 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (2 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 10 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 (- 10 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- 10$ и $1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 2.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1)$

Этап 2.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (- 6 - 1 \cdot 1)$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 (- 6 - 1)$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$1 \cdot - 8 - 2 \cdot - 9 - 1 \cdot - 7$

Этап 2.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 - 2 \cdot - 9 - 1 \cdot - 7$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 9$ .

$- 8 + 18 - 1 \cdot - 7$

Этап 2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$- 8 + 18 + 7$

Этап 2.6.2

Добавим $- 8$ и $18$ .

$10 + 7$

Этап 2.6.3

Добавим $10$ и $7$ .

$17$

$D = 17$

Этап 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Этап 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & 2 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 20 & - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 4.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$

Этап 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Этап 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Этап 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.1.9

Add the terms together.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 3 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 (1 \cdot - 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 1 (- 5 - (- 3 \cdot - 1)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$- 1 (- 5 - 1 \cdot 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 1 (- 5 - 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 5$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (1 \cdot - 5 - 20 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (- 5 - 20 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2.1.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 (- 5 + 20) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.3.2.2

Добавим $- 5$ и $20$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$

Этап 4.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 20 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (1 \cdot - 3 - 20 \cdot 1)$

Этап 4.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (- 3 - 20 \cdot 1)$

Этап 4.2.4.2.1.2

Умножим $- 20$ на $1$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 (- 3 - 20)$

Этап 4.2.4.2.2

Вычтем $20$ из $- 3$ .

$- 1 \cdot - 8 - 2 \cdot 15 - 1 \cdot - 23$

Этап 4.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 - 2 \cdot 15 - 1 \cdot - 23$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 2$ на $15$ .

$8 - 30 - 1 \cdot - 23$

Этап 4.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 23$ .

$8 - 30 + 23$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $30$ из $8$ .

$- 22 + 23$

Этап 4.2.5.3

Добавим $- 22$ и $23$ .

$1$

$D_{x} = 1$

Этап 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 4.4

Substitute $17$ for $D$ and $1$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{1}{17}$

Этап 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 20 & - 5 \end{array} |$

Этап 5.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Этап 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$

Этап 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Этап 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$

Этап 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 20 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot - 5 - 20 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$1 (- 5 - 20 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2

Умножим $- 20$ на $- 1$ .

$1 (- 5 + 20) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.2

Добавим $- 5$ и $20$ .

$1 \cdot 15 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 15 + 1 (2 \cdot - 5 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Умножим $2$ на $- 5$ .

$1 \cdot 15 + 1 (- 10 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \cdot 15 + 1 (- 10 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.2

Добавим $- 10$ и $1$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 5.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (2 \cdot 20 - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Умножим $2$ на $20$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (40 - 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 (40 - 1)$

Этап 5.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $40$ .

$1 \cdot 15 + 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 39$

Этап 5.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Умножим $15$ на $1$ .

$15 + 1 \cdot - 9 - 1 \cdot 39$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $- 9$ на $1$ .

$15 - 9 - 1 \cdot 39$

Этап 5.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $39$ .

$15 - 9 - 39$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $9$ из $15$ .

$6 - 39$

Этап 5.2.5.3

Вычтем $39$ из $6$ .

$- 33$

$D_{y} = - 33$

Этап 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 5.4

Substitute $17$ for $D$ and $- 33$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 33}{17}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{33}{17}$

Этап 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 20 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 20 \end{array} |$

Этап 6.2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$

Этап 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$

Этап 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$

Этап 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 3 & 20 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 20 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Умножим $20$ на $1$ .

$1 (20 - (- 3 \cdot 1)) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 (20 - - 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$1 (20 + 3) - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.2

Добавим $20$ и $3$ .

$1 \cdot 23 - 2 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & 20 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 23 - 2 (2 \cdot 20 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Умножим $2$ на $20$ .

$1 \cdot 23 - 2 (40 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 \cdot 23 - 2 (40 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.2

Вычтем $1$ из $40$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (- 6 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 (- 6 - 1)$

Этап 6.2.4.2.2

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$1 \cdot 23 - 2 \cdot 39 - 1 \cdot - 7$

Этап 6.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Умножим $23$ на $1$ .

$23 - 2 \cdot 39 - 1 \cdot - 7$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 2$ на $39$ .

$23 - 78 - 1 \cdot - 7$

Этап 6.2.5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$23 - 78 + 7$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $78$ из $23$ .

$- 55 + 7$

Этап 6.2.5.3

Добавим $- 55$ и $7$ .

$- 48$

$D_{z} = - 48$

Этап 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Этап 6.4

Substitute $17$ for $D$ and $- 48$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{- 48}{17}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{48}{17}$

Этап 7

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{1}{17}$

$y = - \frac{33}{17}$

$z = - \frac{48}{17}$