Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 0.6 & - 0.4 & - 0.4 \\ - 0.2 & 0.8 & - 0.2 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 \end{array}]$

Этап 1

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0.8 & - 0.2 \\ - 0.1 & 0.9 \end{array} |$

Этап 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0.6 | \begin{array}{c} 0.8 & - 0.2 \\ - 0.1 & 0.9 \end{array} |$

Этап 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} |$

Этап 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} |$

Этап 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.1.9

Add the terms together.

$0.6 | \begin{array}{c} 0.8 & - 0.2 \\ - 0.1 & 0.9 \end{array} | + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 0.8 & - 0.2 \\ - 0.1 & 0.9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.6 (0.8 \cdot 0.9 - (- 0.1 \cdot - 0.2)) + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $0.8$ на $0.9$ .

$0.6 (0.72 - (- 0.1 \cdot - 0.2)) + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $- (- 0.1 \cdot - 0.2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Умножим $- 0.1$ на $- 0.2$ .

$0.6 (0.72 - 1 \cdot 0.02) + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0.02$ .

$0.6 (0.72 - 0.02) + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $0.02$ из $0.72$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} | - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 0.2 & - 0.2 \\ - 0.6 & 0.9 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 (- 0.2 \cdot 0.9 - (- 0.6 \cdot - 0.2)) - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим $- 0.2$ на $0.9$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 (- 0.18 - (- 0.6 \cdot - 0.2)) - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.3.2.1.2

Умножим $- (- 0.6 \cdot - 0.2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Умножим $- 0.6$ на $- 0.2$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 (- 0.18 - 1 \cdot 0.12) - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $0.12$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 (- 0.18 - 0.12) - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $0.12$ из $- 0.18$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 | \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$

Этап 1.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 0.2 & 0.8 \\ - 0.6 & - 0.1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 (- 0.2 \cdot - 0.1 - (- 0.6 \cdot 0.8))$

Этап 1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $- 0.2$ на $- 0.1$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 (0.02 - (- 0.6 \cdot 0.8))$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- (- 0.6 \cdot 0.8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.2.1

Умножим $- 0.6$ на $0.8$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 (0.02 - - 0.48)$

Этап 1.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 0.48$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 (0.02 + 0.48)$

Этап 1.4.2.2

Добавим $0.02$ и $0.48$ .

$0.6 \cdot 0.7 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 \cdot 0.5$

Этап 1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $0.6$ на $0.7$ .

$0.42 + 0.4 \cdot - 0.3 - 0.4 \cdot 0.5$

Этап 1.5.1.2

Умножим $0.4$ на $- 0.3$ .

$0.42 - 0.12 - 0.4 \cdot 0.5$

Этап 1.5.1.3

Умножим $- 0.4$ на $0.5$ .

$0.42 - 0.12 - 0.2$

Этап 1.5.2

Вычтем $0.12$ из $0.42$ .

$0.3 - 0.2$

Этап 1.5.3

Вычтем $0.2$ из $0.3$ .

$0.1$

Этап 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 0.6 & - 0.4 & - 0.4 & 1 & 0 & 0 \\ - 0.2 & 0.8 & - 0.2 & 0 & 1 & 0 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{0.6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0.6}{0.6} & \frac{- 0.4}{0.6} & \frac{- 0.4}{0.6} & \frac{1}{0.6} & \frac{0}{0.6} & \frac{0}{0.6} \\ - 0.2 & 0.8 & - 0.2 & 0 & 1 & 0 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ - 0.2 & 0.8 & - 0.2 & 0 & 1 & 0 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.8 + 0.2 \cdot - 0.\overline{6} & - 0.2 + 0.2 \cdot - 0.\overline{6} & 0 + 0.2 \cdot 1.\overline{6} & 1 + 0.2 \cdot 0 & 0 + 0.2 \cdot 0 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0.\overline{6} & - 0.\overline{3} & 0.\overline{3} & 1 & 0 \\ - 0.6 & - 0.1 & 0.9 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0.\overline{6} & - 0.\overline{3} & 0.\overline{3} & 1 & 0 \\ - 0.6 + 0.6 \cdot 1 & - 0.1 + 0.6 \cdot - 0.\overline{6} & 0.9 + 0.6 \cdot - 0.\overline{6} & 0 + 0.6 \cdot 1.\overline{6} & 0 + 0.6 \cdot 0 & 1 + 0.6 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0.\overline{6} & - 0.\overline{3} & 0.\overline{3} & 1 & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.5 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.\overline{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{0.\overline{6}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ \frac{0}{0.\overline{6}} & \frac{0.\overline{6}}{0.\overline{6}} & \frac{- 0.\overline{3}}{0.\overline{6}} & \frac{0.\overline{3}}{0.\overline{6}} & \frac{1}{0.\overline{6}} & \frac{0}{0.\overline{6}} \\ 0 & - 0.5 & 0.5 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.4\overline{9} & 0.4\overline{9} & 1.4\overline{9} & 0 \\ 0 & - 0.5 & 0.5 & 1 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 0.5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.4\overline{9} & 0.4\overline{9} & 1.4\overline{9} & 0 \\ 0 + 0.5 \cdot 0 & - 0.5 + 0.5 \cdot 1 & 0.5 + 0.5 \cdot - 0.4\overline{9} & 1 + 0.5 \cdot 0.4\overline{9} & 0 + 0.5 \cdot 1.4\overline{9} & 1 + 0.5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.4\overline{9} & 0.4\overline{9} & 1.4\overline{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0.25 & 1.25 & 0.75 & 1 \end{array}]$

Этап 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0.25}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{0.25}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.4\overline{9} & 0.4\overline{9} & 1.4\overline{9} & 0 \\ \frac{0}{0.25} & \frac{0}{0.25} & \frac{0.25}{0.25} & \frac{1.25}{0.25} & \frac{0.75}{0.25} & \frac{1}{0.25} \end{array}]$

Этап 4.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 0.4\overline{9} & 0.4\overline{9} & 1.4\overline{9} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.4\overline{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.4\overline{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 + 0.4\overline{9} \cdot 0 & 1 + 0.4\overline{9} \cdot 0 & - 0.4\overline{9} + 0.4\overline{9} \cdot 1 & 0.4\overline{9} + 0.4\overline{9} \cdot 5 & 1.4\overline{9} + 0.4\overline{9} \cdot 3 & 0 + 0.4\overline{9} \cdot 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & - 0.\overline{6} & 1.\overline{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.\overline{6} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.\overline{6} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0.\overline{6} \cdot 0 & - 0.\overline{6} + 0.\overline{6} \cdot 0 & - 0.\overline{6} + 0.\overline{6} \cdot 1 & 1.\overline{6} + 0.\overline{6} \cdot 5 & 0 + 0.\overline{6} \cdot 3 & 0 + 0.\overline{6} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 0.\overline{6} & 0 & 5 & 2 & 2.\overline{6} \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.\overline{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 0.\overline{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0.\overline{6} \cdot 0 & - 0.\overline{6} + 0.\overline{6} \cdot 1 & 0 + 0.\overline{6} \cdot 0 & 5 + 0.\overline{6} \cdot 3 & 2 + 0.\overline{6} \cdot 3 & 2.\overline{6} + 0.\overline{6} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 4.9.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 7 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & 3 & 4 \end{array}]$

Этап 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 7 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{array}]$