Конечная математика Примеры

$5 [\begin{array}{c} 6 & - 9 \\ - 3 & - 7 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $5$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 6 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $5$ на $6$ .

$[\begin{array}{c} 30 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2.2

Умножим $5$ на $- 9$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $- 7$ .

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & - 35 \end{array}]$

Этап 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 4

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$30 \cdot - 35 - (- 15 \cdot - 45)$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $30$ на $- 35$ .

$- 1050 - (- 15 \cdot - 45)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- (- 15 \cdot - 45)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 15$ на $- 45$ .

$- 1050 - 1 \cdot 675$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $675$ .

$- 1050 - 675$

Этап 4.2.2

Вычтем $675$ из $- 1050$ .

$- 1725$

Этап 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

Этап 8

Умножим $- \frac{1}{1725}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1725}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $5$ из $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (345)} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $5$ из $- 35$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.1.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{345} \cdot - 7 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.2

Объединим $\frac{- 1}{345}$ и $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1725}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $15$ из $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.4.3

Вынесем множитель $15$ из $45$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.4.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.4.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{115} \cdot 3 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.5

Объединим $\frac{- 1}{115}$ и $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1 \cdot 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.8

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1725}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.8.2

Вынесем множитель $15$ из $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.8.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.8.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.10

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{1725}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.10.2

Вынесем множитель $15$ из $1725$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 9.10.3

Вынесем множитель $15$ из $30$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Этап 9.10.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

Этап 9.10.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{115} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 9.11

Объединим $\frac{- 1}{115}$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1 \cdot 2}{115} \end{array}]$

Этап 9.12

Умножим $- 1$ на $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 2}{115} \end{array}]$

Этап 9.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{2}{115} \end{array}]$