Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} - 3 & 3 \\ 8 & 7 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 7 - 8 \cdot 3$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $7$ .

$- 21 - 8 \cdot 3$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$- 21 - 24$

Этап 2.2.2

Вычтем $24$ из $- 21$ .

$- 45$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 45} [\begin{array}{c} 7 & - 3 \\ - 8 & - 3 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{45} [\begin{array}{c} 7 & - 3 \\ - 8 & - 3 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{45}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{45} \cdot 7 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- \frac{1}{45} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 7 (\frac{1}{45}) & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{45}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 7}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{45}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{45} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 (15)} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.3.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.3.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- 1}{15} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.4

Объединим $\frac{- 1}{15}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{- - 1}{15} \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ - \frac{1}{45} \cdot - 8 & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.6

Умножим $- \frac{1}{45} \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ 8 (\frac{1}{45}) & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.6.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{45}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & - \frac{1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{45}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{45} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.7.2

Вынесем множитель $3$ из $45$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 (15)} \cdot - 3 \end{array}]$

Этап 7.7.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \end{array}]$

Этап 7.7.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{3 \cdot 15} \cdot (3 \cdot - 1) \end{array}]$

Этап 7.7.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- 1}{15} \cdot - 1 \end{array}]$

Этап 7.8

Объединим $\frac{- 1}{15}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{- - 1}{15} \end{array}]$

Этап 7.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{7}{45} & \frac{1}{15} \\ \frac{8}{45} & \frac{1}{15} \end{array}]$