Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

Этап 1

Adding $6$ to a $2 \times 2$ square matrix is the same as adding $6$ times the $2 \times 2$ identity matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Умножим $6$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $6$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2

Умножим $6$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим $6$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

Этап 4

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Этап 5

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $5$ и $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Этап 5.2

Добавим $9$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

Этап 5.3

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

Этап 5.4

Добавим $3$ и $6$ .

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

Этап 6

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 7

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

Этап 7.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $11$ на $9$ .

$99 - 2 \cdot 9$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2$ на $9$ .

$99 - 18$

Этап 7.2.2

Вычтем $18$ из $99$ .

$81$

Этап 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{81}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.1.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.1.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.2.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.2.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.2.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.3

Объединим $\frac{1}{9}$ и $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.5

Объединим $\frac{1}{81}$ и $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

Этап 11.7

Объединим $\frac{1}{81}$ и $11$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$