Конечная математика Примеры

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $M$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Этап 2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перенесем $3$ влево от $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Этап 2.2

Умножим $M$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим $M$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

Этап 2.4

Перенесем $5$ влево от $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

Этап 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 4

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 M (5 M) - M \cdot M$

Этап 4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

Этап 4.2.1.2

Умножим $M$ на $M$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перенесем $M$ .

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $M$ на $M$ .

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

Этап 4.2.1.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 M^{2} - M \cdot M$

Этап 4.2.1.4

Умножим $M$ на $M$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Перенесем $M$ .

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

Этап 4.2.1.4.2

Умножим $M$ на $M$ .

$15 M^{2} - M^{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $M^{2}$ из $15 M^{2}$ .

$14 M^{2}$

Этап 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

Этап 7

Умножим $\frac{1}{14 M^{2}}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $M$ из $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.3.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.5

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{14 M^{2}}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.5.2

Вынесем множитель $M$ из $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.5.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.5.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.8

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{14 M^{2}}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.8.2

Вынесем множитель $M$ из $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.8.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.8.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

Этап 8.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Этап 8.11

Объединим $3$ и $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

Этап 8.12

Сократим общий множитель $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.12.1

Вынесем множитель $M$ из $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Этап 8.12.2

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

Этап 8.12.3

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$