Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $45$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $6$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) ((43 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(43 - λ) (9 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (14 - λ) (43 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $43$ на $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вычтем $9 λ$ из $- 43 λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 8$ на $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 48) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $48$ из $387$ .

$p (λ) = (14 - λ) (- 52 λ + λ^{2} + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $- 52 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (1 (9 - λ) - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $9 - λ$ на $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 12) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (1 \cdot 8 - 2 (43 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $8$ на $1$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 (43 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 \cdot 43 - 2 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $43$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 - 2 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 + 2 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $86$ из $8$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (- 78 + 2 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 78$ и $2 λ$ .

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 14 λ^{2} + 14 (- 52 λ) + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 52$ на $14$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $14$ на $339$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{2 + 1} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ \cdot λ - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 (λ \cdot λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 52$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $339$ на $- 1$ .

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.3

Добавим $14 λ^{2}$ и $52 λ^{2}$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.4

Вычтем $339 λ$ из $- 728 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ) - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 1$ на $- 45$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 45$ на $- 3$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ - 78)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ) + 5 \cdot - 78$

Этап 5.5.1.9

Умножим $2$ на $5$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ + 5 \cdot - 78$

Этап 5.5.1.10

Умножим $5$ на $- 78$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ - 390$

Этап 5.5.2

Добавим $- 1067 λ$ и $45 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1022 λ + 4746 - λ^{3} + 135 + 10 λ - 390$

Этап 5.5.3

Добавим $- 1022 λ$ и $10 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ + 4746 - λ^{3} + 135 - 390$

Этап 5.5.4

Добавим $4746$ и $135$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4881 - 390$

Этап 5.5.5

Вычтем $390$ из $4881$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4491$

Этап 5.5.6

Перенесем $- 1012 λ$ .

$p (λ) = 66 λ^{2} - λ^{3} - 1012 λ + 4491$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $66 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

Этап 7.1.3

Подставим $9$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $9$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Подставим $9$ в многочлен.

$- 9^{3} + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.2

Возведем $9$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $729$ .

$- 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.4

Возведем $9$ в степень $2$ .

$- 729 + 66 \cdot 81 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.5

Умножим $66$ на $81$ .

$- 729 + 5346 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.6

Добавим $- 729$ и $5346$ .

$4617 - 1012 \cdot 9 + 4491$

Этап 7.1.3.7

Умножим $- 1012$ на $9$ .

$4617 - 9108 + 4491$

Этап 7.1.3.8

Вычтем $9108$ из $4617$ .

$- 4491 + 4491$

Этап 7.1.3.9

Добавим $- 4491$ и $4491$ .

$0$

Этап 7.1.4

Поскольку $9$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 9$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491}{λ - 9}$

Этап 7.1.5

Разделим $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ на $λ - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$9$

$λ^{3}$

$66 λ^{2}$

$1012 λ$

$4491$

Этап 7.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$

Этап 7.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$

Этап 7.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} + 9 λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$

Этап 7.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$

Этап 7.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Этап 7.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $57 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

Этап 7.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					+	$57 λ^{2}$	-	$513 λ$

Этап 7.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $57 λ^{2} - 513 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$

Этап 7.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$

Этап 7.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Этап 7.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 499 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Этап 7.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							-	$499 λ$	+	$4491$

Этап 7.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 499 λ + 4491$ .

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$

Этап 7.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$
										$0$

Этап 7.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} + 57 λ - 499$

Этап 7.1.6

Запишем $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ в виде набора множителей.

$(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 9 = 0$

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ - 9$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ - 9$ к $0$ .

$λ - 9 = 0$

Этап 7.3.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$λ = 9$

Этап 7.4

Приравняем $- λ^{2} + 57 λ - 499$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $- λ^{2} + 57 λ - 499$ к $0$ .

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

Этап 7.4.2

Решим $- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.4.2.2

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 57$ и $c = - 499$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $λ$ .

$\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 499)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Возведем $57$ в степень $2$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 4 \cdot - 1 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot - 499$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 + 4 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Умножим $4$ на $- 499$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 1996}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.1.3

Вычтем $1996$ из $3249$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{2 \cdot - 1}$

Этап 7.4.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$

Этап 7.4.2.3.3

Упростим $\frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$ .

$λ = \frac{57 \pm \sqrt{1253}}{2}$

Этап 7.4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$λ = \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Этап 7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$ верно.

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

Десятичная форма:

$λ = 9, 46.19887002 \dots, 10.80112997 \dots$