Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 9 & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 & - 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 + 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} + 0 & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $\frac{3}{2}$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 0 - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Вычтем $λ$ из $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 + 0 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 & 2 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 9 - λ & 1 & 0 \\ \frac{3}{2} & - λ & - 2 \\ 1 & 2 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - λ \\ 1 & 2 \end{array} |$ .

$p (λ) = (9 - λ) | \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - λ & - 2 \\ 2 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- λ (4 - λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (9 - λ) (- λ \cdot 4 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.1.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.4.3

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.3.2.2

Изменим порядок $- 4 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 | \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} \frac{3}{2} & - 2 \\ 1 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} (4 - λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot 4 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot (2 (2)) + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2) + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (3 \cdot 2 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $3$ на $2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 + \frac{3}{2} (- λ) - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.4

Объединим $\frac{3}{2}$ и $λ$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 - \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot - 2) + 0$

Этап 5.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (6 - \frac{3 λ}{2} + 2) + 0$

Этап 5.4.2.2

Добавим $6$ и $2$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8) + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Добавим $(9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$ и $0$ .

$p (λ) = (9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Развернем $(9 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 9 λ^{2} + 9 (- 4 λ) + 9 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 9 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.2

Умножим $9$ на $4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.6

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4 - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.2.7

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = 9 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.3

Добавим $9 λ^{2}$ и $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 36 λ + 36 - λ^{3} - 4 λ - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.4

Вычтем $4 λ$ из $- 36 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} - 1 (- \frac{3 λ}{2} + 8)$

Этап 5.5.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} - 1 (- \frac{3 λ}{2}) - 1 \cdot 8$

Этап 5.5.2.6

Умножим $- 1 (- \frac{3 λ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + 1 \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot 8$

Этап 5.5.2.6.2

Умножим $\frac{3 λ}{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + \frac{3 λ}{2} - 1 \cdot 8$

Этап 5.5.2.7

Умножим $- 1$ на $8$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - 40 λ + 36 - λ^{3} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.3

Чтобы записать $- 40 λ$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} - 40 λ \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.4

Объединим $- 40 λ$ и $\frac{2}{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 40 λ \cdot 2}{2} + \frac{3 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 40 λ \cdot 2 + 3 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $- 40 λ \cdot 2 + 3 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1.1.1

Вынесем множитель $λ$ из $- 40 λ \cdot 2$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2) + 3 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.6.1.1.2

Вынесем множитель $λ$ из $3 λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2) + λ \cdot 3}{2} - 8$

Этап 5.5.6.1.1.3

Вынесем множитель $λ$ из $λ (- 40 \cdot 2) + λ \cdot 3$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 40 \cdot 2 + 3)}{2} - 8$

Этап 5.5.6.1.2

Умножим $- 40$ на $2$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ (- 80 + 3)}{2} - 8$

Этап 5.5.6.1.3

Добавим $- 80$ и $3$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{λ \cdot - 77}{2} - 8$

Этап 5.5.6.2

Перенесем $- 77$ влево от $λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} + \frac{- 77 \cdot λ}{2} - 8$

Этап 5.5.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 36 - λ^{3} - \frac{77 λ}{2} - 8$

Этап 5.5.7

Вычтем $8$ из $36$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} - λ^{3} - \frac{77 λ}{2} + 28$

Этап 5.5.8

Изменим порядок $13 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 13 λ^{2} - \frac{77 λ}{2} + 28$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 13 λ^{2} - \frac{77 λ}{2} + 28 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$λ \approx 1.10363103, 2.78431018, 9.11205878$