Конечная математика Примеры

$[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 + 0 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $22$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $24$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $15$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $91$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $12$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $38$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 & 27 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) ((58 - λ) (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Развернем $(58 - λ) (27 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (42 - λ) (58 (27 - λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Умножим $58$ на $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Умножим $27$ на $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вычтем $27 λ$ из $- 58 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.1.3

Умножим $- 38$ на $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 3458) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $3458$ из $1566$ .

$p (λ) = (42 - λ) (- 85 λ + λ^{2} - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.2.2.3

Изменим порядок $- 85 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 (27 - λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 \cdot 27 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $15$ на $27$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $15$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3.2.1.4

Умножим $- 12$ на $91$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 1092) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $1092$ из $405$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (15 \cdot 38 - 12 (58 - λ))$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Умножим $15$ на $38$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 (58 - λ))$

Этап 5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 \cdot 58 - 12 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 12$ на $58$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 - 12 (- λ))$

Этап 5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 + 12 λ)$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $696$ из $570$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (- 126 + 12 λ)$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $- 126$ и $12 λ$ .

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 42 λ^{2} + 42 (- 85 λ) + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 85$ на $42$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $42$ на $- 1892$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{2 + 1} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ \cdot λ - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.6

Умножим $- 1$ на $- 85$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.2.7

Умножим $- 1892$ на $- 1$ .

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.3

Добавим $42 λ^{2}$ и $85 λ^{2}$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.4

Добавим $- 3570 λ$ и $1892 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ) - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.6

Умножим $- 15$ на $- 22$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.7

Умножим $- 22$ на $- 687$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ - 126)$

Этап 5.5.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ) + 24 \cdot - 126$

Этап 5.5.1.9

Умножим $12$ на $24$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ + 24 \cdot - 126$

Этап 5.5.1.10

Умножим $24$ на $- 126$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ - 3024$

Этап 5.5.2

Добавим $- 1678 λ$ и $330 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1348 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 + 288 λ - 3024$

Этап 5.5.3

Добавим $- 1348 λ$ и $288 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 - 3024$

Этап 5.5.4

Добавим $- 79464$ и $15114$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 64350 - 3024$

Этап 5.5.5

Вычтем $3024$ из $- 64350$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 67374$

Этап 5.5.6

Перенесем $- 1060 λ$ .

$p (λ) = 127 λ^{2} - λ^{3} - 1060 λ - 67374$

Этап 5.5.7

Изменим порядок $127 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$λ \approx - 18.19789578, 32.99704063$