Конечная математика Примеры

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

Этап 1

Найдем среднее.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Среднее арифметическое значение набора чисел ― это их сумма, деленная на число членов.

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $2$ и $6$ .

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.2

Добавим $8$ и $7$ .

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.3

Добавим $15$ и $8$ .

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.4

Добавим $23$ и $11$ .

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.5

Добавим $34$ и $11$ .

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.6

Добавим $45$ и $11$ .

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.7

Добавим $56$ и $12$ .

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.8

Добавим $68$ и $12$ .

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.9

Добавим $80$ и $13$ .

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

Этап 1.2.10

Добавим $93$ и $13$ .

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

Этап 1.2.11

Добавим $106$ и $14$ .

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

Этап 1.3

Разделим $120$ на $12$ .

$\overline{x} = 10$

Этап 2

Упростим каждое значение в списке.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем $2$ в десятичное представление.

$2$

Этап 2.2

Преобразуем $6$ в десятичное представление.

$6$

Этап 2.3

Преобразуем $7$ в десятичное представление.

$7$

Этап 2.4

Преобразуем $8$ в десятичное представление.

$8$

Этап 2.5

Преобразуем $11$ в десятичное представление.

$11$

Этап 2.6

Преобразуем $12$ в десятичное представление.

$12$

Этап 2.7

Преобразуем $13$ в десятичное представление.

$13$

Этап 2.8

Преобразуем $14$ в десятичное представление.

$14$

Этап 2.9

Упрощенные значения: $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ .

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

Этап 3

Зададим формулу для стандартного отклонения выборки. Стандартное отклонение выборки данных — это мера разброса его значений.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Этап 4

Запишем формулу стандартного отклонения для этого набора чисел.

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $10$ из $2$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.3

Вычтем $10$ из $6$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.4

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.5

Вычтем $10$ из $7$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.6

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.7

Вычтем $10$ из $8$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.8

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.9

Вычтем $10$ из $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.10

Единица в любой степени равна единице.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.11

Вычтем $10$ из $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.12

Единица в любой степени равна единице.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.13

Вычтем $10$ из $11$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.14

Единица в любой степени равна единице.

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.15

Вычтем $10$ из $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.16

Возведем $2$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.17

Вычтем $10$ из $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.18

Возведем $2$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.19

Вычтем $10$ из $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.20

Возведем $3$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.21

Вычтем $10$ из $13$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.22

Возведем $3$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.23

Вычтем $10$ из $14$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

Этап 5.24

Возведем $4$ в степень $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.25

Добавим $64$ и $16$ .

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.26

Добавим $80$ и $9$ .

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.27

Добавим $89$ и $4$ .

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.28

Добавим $93$ и $1$ .

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.29

Добавим $94$ и $1$ .

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.30

Добавим $95$ и $1$ .

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.31

Добавим $96$ и $4$ .

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.32

Добавим $100$ и $4$ .

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.33

Добавим $104$ и $9$ .

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.34

Добавим $113$ и $9$ .

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

Этап 5.35

Добавим $122$ и $16$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

Этап 5.36

Вычтем $1$ из $12$ .

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

Этап 5.37

Перепишем $\sqrt{\frac{138}{11}}$ в виде $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

Этап 5.38

Умножим $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Этап 5.39

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.39.1

Умножим $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 5.39.2

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 5.39.3

Возведем $\sqrt{11}$ в степень $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Этап 5.39.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Этап 5.39.5

Добавим $1$ и $1$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 5.39.6

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.39.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.39.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.39.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.39.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.39.6.4.1

Сократим общий множитель.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.39.6.4.2

Перепишем это выражение.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Этап 5.39.6.5

Найдем экспоненту.

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

Этап 5.40

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.40.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

Этап 5.40.2

Умножим $138$ на $11$ .

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

Этап 6

Стандартное отклонение следует округлить до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с исходными данными. Если исходные данные были смешанными, округлим до одного дополнительного знака после запятой по сравнению с наименее точными исходными данными.

$3.5$