Конечная математика Примеры

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 3 & 0.1 \\ 0 & 0.2 \\ 2 & 0.3 \\ 4 & 0.1 \end{array}$

Этап 1

Докажем, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам, необходимым для распределения вероятностей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Дискретная случайная переменная $x$ принимает множество отдельных значений (таких как $0$ , $1$ , $2$ ...). Ее распределение вероятности присваивает вероятность $P (x)$ каждому возможному значению $x$ . Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, а сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ .

1. Для каждого $x$ , $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

Этап 1.2

$0.3$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.3

$0.1$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.4

$0.2$ принимает значение между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0.2$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.5

$0.3$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.6

$0.1$ принимает значения между $0$ и $1$ включительно.

Этап 1.7

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно, что удовлетворяет первому свойству распределения вероятностей.

$0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений x

Этап 1.8

Найдем сумму вероятностей для всех возможных значений $x$ .

$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Этап 1.9

Сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Добавим $0.3$ и $0.1$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

Этап 1.9.2

Добавим $0.4$ и $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

Этап 1.9.3

Добавим $0.6$ и $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

Этап 1.9.4

Добавим $0.9$ и $0.1$ .

$1$

Этап 1.10

Для каждого $x$ вероятность $P (x)$ находится между $0$ и $1$ включительно. Кроме того, сумма вероятностей для всех возможных значений $x$ равна $1$ . Это означает, что данная таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей.

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Таблица удовлетворяет двум свойствам распределения вероятностей:

Свойство 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ для всех значений $x$

Свойство 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

Этап 2

Математическое ожидание распределения ― это ожидаемое значение при стремлении числа испытаний к бесконечности. Оно равно каждому значению, умноженному на его дискретную вероятность.

$u = 1 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $0.3$ на $1$ .

$u = 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Этап 3.3

Умножим $0$ на $0.2$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $0.3$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 4 \cdot 0.1$

Этап 3.5

Умножим $4$ на $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 0.4$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0.3$ и $0.3$ .

$u = 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

Этап 4.2

Добавим $0.6$ и $0$ .

$u = 0.6 + 0.6 + 0.4$

Этап 4.3

Добавим $0.6$ и $0.6$ .

$u = 1.2 + 0.4$

Этап 4.4

Добавим $1.2$ и $0.4$ .

$u = 1.6$

Этап 5

Дисперсия распределения ― это мера разброса. Она равна квадрату стандартного отклонения.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

Этап 6

Подставим известные значения.

${(1 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $1.6$ .

${(1 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.2

Вычтем $1.6$ из $1$ .

${(- 0.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.3

Возведем $- 0.6$ в степень $2$ .

$0.36 \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.4

Умножим $0.36$ на $0.3$ .

$0.108 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $1.6$ .

$0.108 + {(3 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.6

Вычтем $1.6$ из $3$ .

$0.108 + {1.4}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.7

Возведем $1.4$ в степень $2$ .

$0.108 + 1.96 \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.8

Умножим $1.96$ на $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.9

Умножим $- 1$ на $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.10

Вычтем $1.6$ из $0$ .

$0.108 + 0.196 + {(- 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.11

Возведем $- 1.6$ в степень $2$ .

$0.108 + 0.196 + 2.56 \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.12

Умножим $2.56$ на $0.2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.13

Умножим $- 1$ на $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.14

Вычтем $1.6$ из $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {0.4}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.15

Возведем $0.4$ в степень $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.16 \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.16

Умножим $0.16$ на $0.3$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.17

Умножим $- 1$ на $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.18

Вычтем $1.6$ из $4$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {2.4}^{2} \cdot 0.1$

Этап 7.1.19

Возведем $2.4$ в степень $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 5.76 \cdot 0.1$

Этап 7.1.20

Умножим $5.76$ на $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Этап 7.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $0.108$ и $0.196$ .

$0.304 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

Этап 7.2.2

Добавим $0.304$ и $0.512$ .

$0.816 + 0.048 + 0.576$

Этап 7.2.3

Добавим $0.816$ и $0.048$ .

$0.864 + 0.576$

Этап 7.2.4

Добавим $0.864$ и $0.576$ .

$1.44$