Конечная математика Примеры

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

Этап 1

Упорядочим классы с соответствующими им частотами по возрастанию (от меньшего к большему), что является наиболее распространенным подходом.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Этап 2

Найдем среднюю точку $M$ для каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нижний предел для каждого класса является наименьшим значением в этом классе. С другой стороны, верхний предел для каждого класса является наибольшим значением в этом классе.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

Этап 2.2

Средняя точка класса ― это сумма нижнего и верхнего пределов класса, поделенная на $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

Этап 2.3

Упростим весь средний столбец.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

Этап 2.4

Добавим столбец средних точек в исходную таблицу.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Этап 3

Вычислим квадрат средней точки каждой группы $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

Этап 4

Упростим столбец $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

Этап 5

Умножим квадрат каждой средней точки на ее частоту $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

Этап 6

Упростим столбец $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

Этап 7

Найдем сумму всех частот. В этом случае сумма всех частот равна $n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ .

$\sum_{}^{} f = n = 20$

Этап 8

Найдем сумму значений столбца $f \cdot M^{2}$ . В этом случае $1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

Этап 9

Найдем среднее значение $μ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

Этап 9.2

Найдем среднюю точку $M$ для каждого класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

Этап 9.3

Умножим частоту каждого класса на среднюю точку класса.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

Этап 9.4

Упростим столбец $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

Этап 9.5

Сложим значения в столбце $f \cdot M$ .

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

Этап 9.6

Сложим значения в столбце частот.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

Этап 9.7

Среднее значение (mu) представляет собой сумму $f \cdot M$ , деленную на $n$ , которая является суммой частот.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

Этап 9.8

Среднее значение ― это сумма средних точек, умноженных на частоту, деленная на сумму частот.

$μ = \frac{1530}{20}$

Этап 9.9

Упростим правую часть $μ = \frac{1530}{20}$ .

$76.5$

Этап 10

Уравнение стандартного отклонения: $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

Этап 11

Подставим вычисленные значения в $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

Этап 12

Упростим правую часть $S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ , чтобы получить дисперсию $S^{2} = 216.84210526$ .

$216.84210526$