Конечная математика Примеры

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

Этап 1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

Этап 2

Решим $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (θ)$ .

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.2

Разделим дроби.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.3

Переведем $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ в $\tan (θ)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Сократим общий множитель.

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 2.5.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \tan (θ) = 4$

Этап 2.6

Разделим каждый член $4 \tan (θ) = 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $4 \tan (θ) = 4$ на $4$ .

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Разделим $4$ на $4$ .

$\tan (θ) = 1$

Этап 2.7

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$θ = \arctan (1)$

Этап 2.8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 2.9

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 2.10

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.10.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 2.10.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.11

Найдем период $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.11.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.11.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.12

Период функции $\tan (θ)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Вычислим $r$ , когда $θ = \frac{π}{4} + π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{π}{4} + π n$ вместо $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

Этап 4

Вычислим $r$ , когда $θ = \frac{5 π}{4} + π n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{5 π}{4} + π n$ вместо $θ$ .

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Этап 4.2

Избавимся от скобок.

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

Этап 5

Решения системы уравнений — это все значения, обращающие все уравнения системы в тождество.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

Этап 6

Перечислим все решения.

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$