Конечная математика Примеры

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

Этап 5

Упростим $e^{- 1} (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{e}$ и $x$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Этап 5.4

Объединим $\frac{1}{e}$ и $- 1$ .

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Этап 6

Вычтем $\frac{x}{e}$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

Этап 7

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Этап 8

Вынесем множитель $x$ из $x - \frac{x}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

Этап 8.2

Вынесем множитель $x$ из $- \frac{x}{e}$ .

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Этап 8.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ .

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

Этап 9

Разделим каждый член $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ на $1 - \frac{1}{e}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим каждый член $x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ на $1 - \frac{1}{e}$ .

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $1 - \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Этап 9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Этап 9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Этап 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Умножим $\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ на $\frac{e}{e}$ .

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

Этап 9.3.2.2

Объединим.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

Этап 9.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Этап 9.3.4

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e}$ в числитель.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Этап 9.3.4.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Этап 9.3.4.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

Этап 9.3.4.2

Сократим общий множитель $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e}$ в числитель.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Этап 9.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

Этап 9.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

Этап 9.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $e$ .

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

Этап 9.3.5.2

Перепишем $- 1 e$ в виде $- e$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

Этап 9.3.6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.6.1

Умножим $e$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

Этап 9.3.6.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

Этап 9.3.6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e$ .

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

Этап 9.3.6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (e)$ .

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

Этап 9.3.6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

Этап 10

Исключим решения, которые не делают $\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ истинным.

$Нет решения$