Конечная математика Примеры

$x + 1 = \sqrt{6 x - 7} - 1$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{6 x - 7} - 1 = x + 1$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sqrt{6 x - 7}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{6 x - 7} = x + 1 + 1$

Этап 2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{6 x - 7} = x + 2$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 x - 7}}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 7}$ в виде ${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 x - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 x - 7)}^{1} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$6 x - 7 = {(x + 2)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$6 x - 7 = (x + 2) (x + 2)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 7 = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 7 = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$6 x - 7 = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 = 6 x - 7$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 4 x + 4 - 6 x = - 7$

Этап 5.2.2

Вычтем $6 x$ из $4 x$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = - 7$

Этап 5.3

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 4 + 7 = 0$

Этап 5.3.2

Добавим $4$ и $7$ .

$x^{2} - 2 x + 11 = 0$

Этап 5.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $11$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.3

Вычтем $44$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $- 40$ в виде $- 1 (40)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (40)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.7

Перепишем $40$ в виде $2^{2} \cdot 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $40$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{10}$

Этап 5.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{10}, 1 - i \sqrt{10}$