Конечная математика Примеры

$x + \sqrt{x + 6} = 14$

Этап 1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x + 6} = 14 - x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 6}}^{2} = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 6}$ в виде ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 6)}^{1} = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$x + 6 = {(14 - x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(14 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(14 - x)}^{2}$ в виде $(14 - x) (14 - x)$ .

$x + 6 = (14 - x) (14 - x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(14 - x) (14 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 6 = 14 (14 - x) - x (14 - x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 6 = 14 \cdot 14 + 14 (- x) - x (14 - x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 6 = 14 \cdot 14 + 14 (- x) - x \cdot 14 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $14$ на $14$ .

$x + 6 = 196 + 14 (- x) - x \cdot 14 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $14$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - x \cdot 14 - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $14$ на $- 1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - x (- x)$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 3.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x + 1 x^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x + 6 = 196 - 14 x - 14 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $14 x$ из $- 14 x$ .

$x + 6 = 196 - 28 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$196 - 28 x + x^{2} = x + 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$196 - 28 x + x^{2} - x = 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из $- 28 x$ .

$196 + x^{2} - 29 x = 6$

Этап 4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$196 + x^{2} - 29 x - 6 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $6$ из $196$ .

$x^{2} - 29 x + 190 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} - 29 x + 190$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $190$ , а сумма — $- 29$ .

$- 19, - 10$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 19) (x - 10) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 19 = 0$

$x - 10 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 19$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 19$ к $0$ .

$x - 19 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $19$ к обеим частям уравнения.

$x = 19$

Этап 4.8

Приравняем $x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x - 10$ к $0$ .

$x - 10 = 0$

Этап 4.8.2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$x = 10$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 19) (x - 10) = 0$ верно.

$x = 19, 10$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $x + \sqrt{x + 6} = 14$ истинным.

$x = 10$