Конечная математика Примеры

$f (x) = 4^{2} + 24 x + 47$

Этап 1

Упростим $4^{2} + 24 x + 47$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = 16 + 24 x + 47$

Этап 1.2

Добавим $16$ и $47$ .

$y = 24 x + 63$

Этап 2

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Этап 3

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{6}, \pm \frac{7}{8}, \pm \frac{7}{12}, \pm \frac{7}{24}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm 21, \pm \frac{21}{2}, \pm \frac{21}{4}, \pm \frac{21}{8}, \pm 63, \pm \frac{63}{2}, \pm \frac{63}{4}, \pm \frac{63}{8}$

Этап 4

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

$24 (- \frac{21}{8}) + 63$

Этап 5

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = - \frac{21}{8}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{21}{8}$ в числитель.

$24 (\frac{- 21}{8}) + 63$

Этап 5.1.1.2

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$8 (3) \frac{- 21}{8} + 63$

Этап 5.1.1.3

Сократим общий множитель.

$8 \cdot 3 \frac{- 21}{8} + 63$

Этап 5.1.1.4

Перепишем это выражение.

$3 \cdot - 21 + 63$

Этап 5.1.2

Умножим $3$ на $- 21$ .

$- 63 + 63$

Этап 5.2

Добавим $- 63$ и $63$ .

$0$

Этап 6

Поскольку $- \frac{21}{8}$ — известный корень, разделим многочлен на $x + \frac{21}{8}$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{24 x + 63}{x + \frac{21}{8}}$

Этап 7

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

Этап 7.2

Первое число в делимом $(24)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$

	$24$

Этап 7.3

Умножим последний элемент в области результата $(24)$ на делитель $(- \frac{21}{8})$ и запишем их произведение $(- 63)$ под следующим членом делимого $(63)$ .

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$

Этап 7.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$- \frac{21}{8}$	$24$	$63$
		$- 63$
	$24$	$0$

Этап 7.5

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$24$

Этап 8

Поскольку $24 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 9

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$x + \frac{21}{8}$

Этап 10

Это корни (нули) многочлена $24 x + 63$ .

$x = - \frac{21}{8}$

Этап 11