Конечная математика Примеры

$7 - \frac{1}{t} - \frac{6}{t^{2}} = 0$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, t, t^{2}, 1$

Этап 1.2

Since $1, t, t^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $t^{1}, t^{2}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $t^{1}$ является само значение $t$ .

$t^{1} = t$

$t$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множители $t^{2}$ — $t \cdot t$ , то есть $t$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$t^{2} = t \cdot t$

$t$ встречается $2$ раз.

Этап 1.8

НОК $t^{1}, t^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$t \cdot t$

Этап 1.9

Умножим $t$ на $t$ .

$t^{2}$

Этап 2

Каждый член в $7 - \frac{1}{t} - \frac{6}{t^{2}} = 0$ умножим на $t^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $7 - \frac{1}{t} - \frac{6}{t^{2}} = 0$ на $t^{2}$ .

$7 t^{2} - \frac{1}{t} t^{2} - \frac{6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{t}$ в числитель.

$7 t^{2} + \frac{- 1}{t} t^{2} - \frac{6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$7 t^{2} + \frac{- 1}{t} (t \cdot t) - \frac{6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$7 t^{2} + \frac{- 1}{t} (t \cdot t) - \frac{6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$7 t^{2} - t - \frac{6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{6}{t^{2}}$ в числитель.

$7 t^{2} - t + \frac{- 6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$7 t^{2} - t + \frac{- 6}{t^{2}} t^{2} = 0 t^{2}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$7 t^{2} - t - 6 = 0 t^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $t^{2}$ .

$7 t^{2} - t - 6 = 0$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$7 t^{2} - (t) - 6 = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $- 1$ как $6$ плюс $- 7$

$7 t^{2} + (6 - 7) t - 6 = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 t^{2} + 6 t - 7 t - 6 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(7 t^{2} + 6 t) - 7 t - 6 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$t (7 t + 6) - (7 t + 6) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $7 t + 6$ .

$(7 t + 6) (t - 1) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7 t + 6 = 0$

$t - 1 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $7 t + 6$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $7 t + 6$ к $0$ .

$7 t + 6 = 0$

Этап 3.3.2

Решим $7 t + 6 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$7 t = - 6$

Этап 3.3.2.2

Разделим каждый член $7 t = - 6$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Разделим каждый член $7 t = - 6$ на $7$ .

$\frac{7 t}{7} = \frac{- 6}{7}$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 t}{7} = \frac{- 6}{7}$

Этап 3.3.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 6}{7}$

Этап 3.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t = - \frac{6}{7}$

Этап 3.4

Приравняем $t - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7 t + 6) (t - 1) = 0$ верно.

$t = - \frac{6}{7}, 1$