Конечная математика Примеры

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

Этап 1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

Этап 2

Зададим аргумент в $\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

Этап 3.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ в виде ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим.

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 3.3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 3.3.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 3.3.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 3.3.6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 3.3.7

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.3.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 3.3.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 3.3.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.3.9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.3.10

Объединим решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.4

Найдем область определения $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 3.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 3.4.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 3.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 3.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Этап 3.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

Этап 3.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Проверим значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 3.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

Этап 3.6.1.3

Левая часть $1.08738037$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.6.2

Проверим значение на интервале $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Выберем значение на интервале $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

Этап 3.6.2.3

Левая часть $- 1$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 3.6.3

Проверим значение на интервале $x > \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > \sqrt{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 3.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

Этап 3.6.3.3

Левая часть $1.08738037$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 3.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Ложь

$x > \sqrt{2}$ Истина

$x < - \sqrt{2}$ Истина

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Ложь

$x > \sqrt{2}$ Истина

Этап 3.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$

Этап 4

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 5.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 5.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 5.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

Этап 7