Конечная математика Примеры

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Этап 1

Вычтем $\log_{3} (3 x - 1)$ из обеих частей уравнения.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Этап 2

Упростим $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Этап 5

Упростим $3^{0} (3 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Этап 5.2

Умножим $3 x - 1$ на $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Этап 6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Развернем $(5 - x) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Этап 6.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $x$ из $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Этап 6.3

Вычтем $3 x$ из $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Этап 7

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Этап 7.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Этап 8

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Этап 9

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x - x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Этап 9.1.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 9.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 9.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 9.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 9.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 11

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 12

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 13

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$